Пенлеве Проблема

Проблема характериза-ции устранимых множеств для класса ограниченных однозначных аналитич. ций комплексного переменного z. Пусть Е — компактное множество на комплексной плоскости С такое, что дополнение СЕ= есть область. Каковы минимальные условия на Е, при выполнении к-рых любая ограниченная однозначная аналитич. ция в СЕ продолжается аналитически на Еи, следовательно, является константой? П. Пенлеве [1] указал достаточное условие: линейная мера Хаусдорфа множества Е(такие множества иногда наз. множествами Пенлеве) должна обращаться в нуль; однако его рассуждения содержали ряд неточностей (см. [2], [3]). Необходимое и достаточное условие на Есостоит в том, чтобы аналитическая емкость Е обращалась в нуль (теорема Альфорса). Построен пример множества нулевой аналитической емкости, но положительной линейной меры [5]. Лит.:[1] Рainleve P., Lecons sur la theorie analytique des equations differentielles professees a Stockholm, [1895], P. 1897; [2] Zoretti L., "J. math, pure appl.", 1905, t. 1, p. 1-51; [3] его же, Lecons sur le prolongement analytique, P., 1911; [4] Ahlfors L., "Duke Math. J.", 1947, v. 14, p. 1 — 11; [5] Витушкин А. Г., "Докл. АН СССР", 1959, т. 127, № 2, с. 246-49. Е. Д. Соломенцев.