Пелля Уравнение

Диофантово уравнение вида (1) а также более общее уравнение (2) где — натуральное, — иррациональное число, с — целое, неизвестные хи у — целые числа. Если Ps/Qs, s=0,1,2,...,- подходящие дроби разложения в цепную дробь с периодом k, то положительные решения уравнения (1) имеют вид где п — любое натуральное число такое, что kn четно. Все решения уравнения (1) получаются из формулы где п — любое целое, а ( х 0, у 0).решение с наименьшими положительными значениями неизвестных. Общее уравнение (2) либо совсем не имеет решений, либо — бесконечно много. При с=-1 решения существуют тогда и только тогда, когда kнечетпо. При с=4 уравнение (2) всегда имеет решения. С помощью решений П. у. при находятся единицы квадратичного поля . Решения П. у. используются при нахождении автоморфизмов бинарных квадратичных форм ; они позволяют по одному решению диофантова уравнения получить бесконечное множество решений. Уравнение (1) изучалось У. Броункером (W. Brouncker, 1657), П. Ферма (P. Fermat) и Дж. Валлисом (J. Wallis). Л. Эйлер (L. Euler) по недоразумению связал его с именем Дж. Пелля (J. Pell). Лит.:[1] Вальфиш А. 3., Уравнение Пелля, Тб., 1952; [2] Гельфонд А. О., Решение уравнений в целых числах, 3 изд., М., 1978; [3] . L e Veque W. J., Topics in number theory, L., 1961. А. А. Бухштаб.