Пеано Аксиомы

Система из пяти аксиом для натурального ряда Nи функции S(прибавление 1) на нем, введенная Дж. Пеано (G. Реапо, 1889): для любого свойства M (аксиома индукции). В первом варианте вместо 0 использовалась 1. Сходные аксиомы независимо предложил Р. Дедекинд (R. Dedekind, 1888). П. а. категоричны, т. е. любые две системы (N, S,0) и (N', S',0'), удовлетворяющие П. а., изоморфны. Изоморфизм определяется функцией f(x, x), где Существование f( х, у).для всех пар ( х, у).и взаимная однозначность при доказываются по индукции. П. а. позволяют развить теорию чисел, в частности ввести обычные арифметич. функции и доказать их свойства. Все аксиомы независимы, однако (3) и (4) можно объединить в одну: если определить х<у как Независимость доказывается предъявлением модели, в к-рой верны все аксиомы, кроме рассматриваемой. Для (1) такая модель — натуральный ряд, начиная с единицы; для (2) — множество , где S0=1/2, S (1/2)=1: для (3) — множество ; для (4) — множество с S0=S1=1; для (5) — множество Иногда под арифметикой Пеано понимают систему в языке 1-го порядка с функциональными символами состоящую из аксиом определяющих равенств для и схемы индукции (см. Арифметика формальная). Лит.:[l] Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М. 1957. Г. Б. Минц.