Параметрическое Представление

В теории однолистных функций — представление однолистных функций, осуществляющих конформное отображение плоских областей на области канонич. вида (напр., на круг с концентрич. разрезами); оно возникает обычно следующим образом. Выбирается однопараметрич. семейство областей Qt, , вложенных друг в друга, Для области Q0 предполагается известным ее конформное отображение на нек-рую канонич. область В 0. По известному отображению области на область канонич. вида строится такое же отображение для области , где и мало. При непрерывном изменении параметра tна этом пути возникают дифференциальные уравнения, наиболее известными из к-рых являются Лёвнера уравнение и уравнение Лёвнера — Куфарева. В дискретном случае — для сеточных областей Qt и натурального параметра t — переход от отображения к отображению , , осуществляется по рекуррентным формулам. Источником упомянутых формул и уравнений служит обычно формула Шварца (см. [1] с. 92) и ее обобщения (см. [2]). Не менее важным источником П. п. служат вариации Адамара (см. [3], [4]) для функций Грина , указанного выше семейства областей. Метод Адамара наз. также методом инвариантного погружения (см. [5]) для эллиптических дифференциальных уравнений. Ниже показана связь П. п., вариаций Адамара и инвариантного погружения в простейшем (дискретном) случае. Пусть Q — нек-рый набор целых комплексных чисел (сеточная область) и функция Грина — экстремаль функционала Дирихле-Дугласа в классе П 0 всех действительных на Qфункций g(z). Здесь , (1) N- натуральное число, — символ Кронекера и zt=(kt, zt) t=0,1,..., Т-1,- нек-рый набор пар чисел; — граница области Qt, kt=0 или 1. Нахождение экстремума функционала It(g) — задача квадратичного программирования. Сравнение ее решений при tи t+1 дает основную формулу инвариантного погружения (вариацию Адамара): (2) где символ означает разностные операторы (1) по второму аргументу функции Грина. Зная функцию , можно шаг за шагом (рекуррентно) получить по формуле (2) все функции . Достроив функцию Грина до сеточно аналитич. ции согласно уравнениям типа Коши — Римана получают однолистное сеточно-квазиконформное отображение области и единичный круг. Ближайшим к началу координат будет образ точки z'. В пределе при отображение сеточно-конформно и образом области служит круг с концентрич. разрезами. Получен непрерывный аналог формулы (2) (см. [6]). В случае, когда все области односвязны и канонич. областью служит единичный круг В, удается, используя дробно-линейные автоморфизмы круга В, представить функцию Грина в явном виде через функцию ft(z), отображающую Qt на В с нормировкой для всех В терминах отображения w=ft(z) вариация Адамара сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению (Лёвнера). По сравнению с вариацией Адамара это уравнение значительно проще, однако информация о границе области представлена в нем неявно — через управляющий параметр , поскольку функция заранее неизвестна. Тем не менее уравнение Лёвнера — основной инструмент П. п. Были рассмотрены более общие однопараметрич. семейства областей , не обязательно вложенных друг в друга (см. [7]). Возникающие при таких П. п. уравнения наз. уравнениями Куфарева — Лёвнера. Существуют также модификации уравнений Лёвнера и Куфарева — Лёвнера на те случаи, когда области обладают различного рода симметриями или иными геометрич. особенностями (см. [1]). Лит.:[1] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [2] Александров. И. А., Сорокин А. С., "Сиб. матем. ж.", 1972, т. 13, № 5, с. 971 — 1001; [3] Hadamard J., Memoire sur le probleme d'analyse relatif a I'equilibri des plaques elastiques encastrees, P., 1908; [4] его же, Lecons sur le calcul des variations, v. 1, P., 1910; [5] Беллман Р., Энджел Э., Динамическое программирование и уравнения в частных производных, пер. с англ., М., 1974; [6] Попов В. И., "Докл. АН СССР", 1972, т. 207, № 5, с. 1048-50; [7] Куфарев П. П., "Матем. сб.", 1943, т. 13, № 1, с. 87-118. В. И. Попов.