ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС

Явление раскачки колебаний при периодич. изменении параметров тех элементов колебат. системы, в к-рых сосредоточивается энергия колебаний (реактивные или энергоёмкие параметры). П. р. возможен в колебат. системах различной физ. природы. Напр., в колебательном контуре реактивными параметрами явл. ёмкость С и индуктивность L, в к-рых запасены электрич. энергия Wэ=q2/2C и магн. энергия Wм=LI2/2 (q — заряд на обкладках конденсатора, I — ток в катушке индуктивности). Собств. колебания в контуре без потерь с постоянными С и L происходят с частотой w0=1/?LC. При этом полная энергия W=Wэ+Wм, запасённая в контуре, остаётся неизменной, происходит лишь её периодич. трансформация из электрич. в магнитную и обратно с частотой 2w0. Изменение параметров С и L, сопровождающееся затратой работы внеш. сил (накачка), приводит к изменению полной энергии системы. Если ёмкость С изменить скачком (за время, малое по сравнению с периодом собств. колебаний Т0=2p/w0) (рис. 1, а), то заряд q скачком

Рис. 1. Связь между изменениями ёмкости С конденсатора (а), заряда q на его обкладках (б) и напряжения U (в) при параметрич. резонансе в колебат. контуре.

измениться не может (иначе ток I=aq/dt®?, рис. 1, б). В результате напряжение на ёмкости U=q/C и электрич. энергия Wэ=q2/2C изменяются обратно пропорц. С, причём совершаемая при этом работа пропорц. q2. Если изменять ёмкость С периодически в такт с изменениями Wэ (обусловленными собств. колебаниями), уменьшая её в моменты, когда ?q? и Wэ максимальны, и увеличивая, когда эти величины равны нулю (рис. 1), то в среднем за период над системой совершается работа и, следовательно, полная энергия и амплитуда колебаний будут монотонно нарастать.

Раскачка колебаний возможна при изменении С или L по любому периодич. закону с периодом Тн или частотой wн, определяемыми соотношениями:

где n — целое число. Наиболее эфф. раскачка имеет место при n=1, когда частота накачки wн равна частоте колебаний Wэ и Wм в системе w0. Нарастание колебаний возможно не только при точном выполнении соотношения (1), но и в нек-рых конечных интервалах значений wн вблизи w0 (в зонах неустойчивости), ширина зон тем больше, чем сильнее изменяются параметры С и L. Изменение параметра, напр. ёмкости С, характеризуют величиной m=(Cмакс-Cмин)/(Cмакс+Cмин) наз. глубиной изменения параметра (рис. 2).

Рис. 2. Области значений m, в к-рых возможен параметрич. резонанс; w0 — частота собств. колебаний, wн — частота накачки (изменения параметра).

П. р. приводит к нарастанию малых нач. возмущений, напр. Неизбежных во всякой системе флуктуации, среди к-рых всегда найдётся составляющая с подходящей фазой по отношению к фазе изменения параметров, т. е. к самовозбуждению колебаний. В отсутствии потерь энергии самовозбуждение наступает при сколь угодно малом изменении параметров. Если же в системе имеются потери (напр., в контуре присутствует сопротивление Л), то самовозбуждение происходит только при достаточно больших изменениях С или L, когда параметрич. накачка энергии превосходит потери. Зоны неустойчивости при этом соответственно уменьшаются или даже исчезают совсем (при больших потерях). Нарастание колебаний при П. р. не происходит беспредельно, а ограничивается при достаточно больших амплитудах разл. нелинейными эффектами. Напр.: зависимость сопротивления Л от тока в контуре может приводить к увеличению потерь по мере возрастания амплитуды колебаний, а зависимость ёмкости от напряжения на ней — к изменению периода собств. колебаний Т0 и в результате — к увеличению расстройки между значениями wн и w0/2n. Равновесие наступает тогда, когда параметрич. накачка энергии в среднем за период компенсируется джоулевыми потерями (см. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ И УСИЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ).

Рис. 3. а — устройство маятника с переменной длиной l подвеса; б — схема движения тела маятника за один период.

Пример механич. системы, в к-рой возможен П. р.,— маятник в виде груза массы т, подвешенного на нити, длину l к-рой можно изменять (рис. 3). Маятник с неподвижной точкой подвеса совершает собств. колебания с частотой w0=?G/L, причём сила натяжения нити (равная по величине сумме центробежной силы и составляющей силы тяжести, направленной вдоль нити) максимальна в нижнем положении груза и минимальна в крайних. Поэтому если уменьшать l в нижнем и увеличивать в крайних положениях (при этом снова выполняется соотношение (1)), то работа внеш. силы, совершаемая в среднем за период, оказывается положительной и колебания могут раскачиваться. На П. р. основано самораскачивание на качелях, когда эфф. длина маятника периодически изменяется при приседаниях и вставаниях качающегося. П. р. учитывается в небесной механике при расчёте возмущений планетных орбит, вызванных влиянием др. планет.

В колебат. системах с неск. степенями свободы (напр., в системе из двух связанных контуров, маятников и др.) возможны нормальные колебания (моды) с разл. частотами w1, w2. Поэтому колебания энергии, запасённой в к.-л. реактивном элементе, содержат не только составляющие с частотами 2w1, 2w2, но и с частотами, равными суммам и разностям разл. нормальных частот. Соответственно нарастание колебаний здесь возможно как при выполнении условия (1) для любой из норм. частот, так и, напр., при изменении параметра с суммарной частотой:

wн =w1+w2. (2)

П. р. приводит к самовозбуждению обоих норм. колебаний с определ. соотношением фаз. Резонансная связь мод возможна также при wн=w1-w2, однако при этом вместо самовозбуждения происходит лишь периодич. перекачка энергии между модами. Соотношение (2) выражает закон сохранения энергии при распаде кванта «накачки» с энергией ћw на два кванта: ћw1 и ћw2. Отсюда следует также, что мощность Рн, поступающая в колебат. систему на частоте wн, и мощности P1,P2 потребляемые на частотах w1 и w2, пропорц. соответствующим частотам (частный случай т. н. соотношений Мэнли — Роу):

Pн/wн=P1/w1=P2/w2 (3)

В колебат. системах с распределёнными параметрами, обладающих бесконечным числом степеней свободы, также возможно возбуждение норм. колебаний в результате П. р. Классич. пример — опыт Мельде (1859), в к-ром наблюдалось возбуждение поперечных колебаний (стоячих волн) в струне, прикреплённой одним концом к ножке камертона, колебания к-рого периодически меняют натяжение струны (рис. 4) с частотой, вдвое большей частоты собств. поперечных колебаний. П. р. может приводить к раскачке изгибных колебаний вращающихся валов. Др. пример — опыт Фарадея (1831), в к-ром вертикальные колебания сосуда с водой приводят к возбуждению стоячей поверхностной волны с удвоенным периодом.

Рис. 4. Параметрич. возбуждение колебаний струны.

Существенная особенность П. р. в системах с распределёнными параметрами состоит в том, что его эффективность зависит от соотношения между законом изменения параметров системы в пр-ве и пространств. структурой колебаний (волн). Напр., если накачка, изменяющая параметры среды, представляет собой бегущую волну с частотой wн и волновым вектором kн, то возбуждение пары норм. волн с частотами w1, w2 и волн. векторами k1, k2 осуществляется, если выполняются условия П. р. как во времени, так и в пр-ве:

wн=w1+w1; kн=k1+k2. (4)

На квант. языке эти условия, обобщающие (2), означают, что при распаде кванта накачки сохраняются как энергия, так и импульс (ћk). Нарастание амплитуд волн во времени и пр-ве (распадная неустойчивость) также ограничивается нелинейными эффектами: если значит. часть энергии накачки израсходована на возбуждение этих волн, то возможен обратный процесс — рост энергии накачки за счёт ослабления волн на частотах w1, w2; в среде без потерь такой обмен энергией происходит периодически. Параметрические и нелинейные резонансные вз-ствия волн характерны, напр., для разл. типов волн в плазме, мощных световых волн (см. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ГЕНЕРАТОР СВЕТА), волн в электронных пучках и др. волн. процессов.