Параболическая Подалгебра

Подалгебра конечномерной алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем, содержащая какую-либо подалгебру Бореля, т. е. максимальную разрешимую подалгебру алгебры . Если — конечномерная алгебра Ли над произвольным полем k, то ее подалгебра наз. П. п., если — П. п. в где — алгебраич. замыкание поля k. Если G — неприводимая линейная алгебраич. группа над полем характеристики О и — ее алгебра Ли, то подалгебра , тогда и только тогда является П. п. в , когда она совпадает с алгеброй Ли нек-рой параболической подгруппы группы G. Примерами П. п. в алгебре Ли всех квадратных матриц порядка пнад полем kявляются подалгебры вида (m= (m1, m2, . . ., ms) — произвольный набор натуральных чисел, сумма к-рых равна п), где алгебра состоит из всех верхних треугольных блочных матриц, у к-рых диагональные блоки являются квадратными матрицами порядков ml, m2, . . . , ms. Пусть — редуктивная конечномерная алгебра Ли над полем kхарактеристики 0, f — максимальная диагонализируемая над kподалгебра в , R — система k-корней алгебры Ли относительно f, D — базис (множество- простых корней) системы R и — группа элементарных автоморфизмов алгебры Ли , т. е. группа, порожденная автоморфизмами вида exp ad x, где х — нильпотентный элемент алгебры . Тогда всякая П. п. алгебры Ли переводится нек-рым автоморфизмом из группы в одну из стандартных параболических подалгебр вида где — централизатор подалгебры f в — корневое подпространство алгебры Ли , отвечающее корню — некоторое произвольное подмножество множества D, а П(Ф) — множество тех корней из R, в разложении которых по простым корням из базиса D корни, принадлежащие множеству Ф, входят только с неотрицательными коэффициентами. Таким образом, число классов П. п., сопряженных относительно , равно 2r, где r=|D| есть k-ранг полупростой алгебры Ли '. При этом если , то . В частности, , а — минимальная П. п. в . Максимальными П. п. исчерпываются все нередуктивные максимальные подалгебры конечномерных редуктивных алгебр Ли над полем характеристики 0 (см. [2], [3], [5]). Лит.:[1] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Подалгебры Картана, регулярные элементы, расщепляемые полупростые алгебры Ли, пер. с франц., М., 1978; 12] Карпелевич Ф. И., "Докл. АН СССР", 1951, т. 76, Я" 6, с. 775 — 78; [3] Морозов В. В., "Успехи матем. наук", 1956, т. 11, в. 5, с. 191-94; [4] Моstоw G. D., "Ann. Math.", 1961, v. 74, JMS 3, p. 503 — 17; [5] Борель А., Тите Ж., "Математика", 1972, т. 16, № 3, с. 3 — 12. В. Л. Попов.