Этимологический словарь Макса Фасмера
пай
I
I "хороший, послушный (о детях)", па́инька (Тургенев). Обычно объясняют из фин., эст. раi "хороший, милый", откуда и эст.-шв., прибалт.-нем. раi; см. Томсен, SА 4, 471. Тат. раi – то же заимств. из русск. (в детской речи; см. Радлов 4, 1118).
II
II "доля, часть", уменьш. паёк, род. п. пайка́, укр. пай. Заимств. из тур., крым.-тат., тат. раi "часть, участок, пай" (Радлов 4, 1118); см. Мi. ЕW 230; ТЕl. 2, 138; Локоч 129; Преобр. II, 5.