Отражения Принцип

Обобщение симметрии принципа для гармонич. функций на гармонич. функции от произвольного числа независимых переменных. Формулировки О. п. таковы. 1) Пусть G- область k-мерного евклидова пространства , ограниченная жордановой поверхностью Г (в частности, гладкой или кусочно гладкой поверхностью Г без самопересечений), в состав к-рой входит (k-1)-мерная подобласть — мерной гиперплоскости L. Если функция гармонична в G, непрерывна на и всюду на s равна нулю, то продолжается как гармонич. функция сквозь а в область G*, симметричную с Gотносительно L, с помощью равенства где точки и симметричны относительно L. 2) Пусть G — область k-меряого евклидова пространства , ограниченная жордановой поверхностью Г, в состав к-рой входит (k -1)-мерная подобласть s (k-1)-мерной сферы S нек-рого радиуса R>0 с центром в нек-рой точке . Если U( х 1,...,х k).гармонична в G, непрерывна на и всюду на s равна нулю, то продолжается как гармонич. функция сквозь sв область G*, симметричную с Gотносительно S (т. е, полученную из G посредством преобразования обратных радиусов — инверсии — относительно сферы S). Это продолжение осуществляется посредством взятого с обратным знаком Кельвина преобразования функции Uотносительно сферы 2, именно: где При преобразовании обратных радиусов относительно упомянутой сферы 2 точка переходит в точку в соответствии с равенствами так что если , то Мпринадлежит области G(где Uзадана), и если , то Лит.:[1] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964, с. 272. Е. П. Долженко.