Отображении Классы

Важнейшие классы непрерывных отображений, рассматриваемые в общей топологии и ее приложениях. К ним относятся: открытые отображения — такие, что образ любого открытого множества является открытым множеством; замкнутые отображения — такие, при к-рых образ каждого замкнутого множества замкнут; бикомпактные отображения — для них прообраз любой точки является бикомпактным множеством; совершенные отображения — замкнутые бикомпактные отображения. Факторные отображения определяются требованием: множество в образе открыто в том и только в том случае, если его полный прообраз открыт. Важны также открытые бикомпактные отображения, псевдооткрытые отображения и уплотнения — последние определяются как взаимно однозначные непрерывные отображения на. Таким образом, при классификации отображений в общей топологии ограничения накладываются либо на поведение (при переходе к образу) открытых или замкнутых множеств, либо на свойства прообразов множеств. Второй подход приводит, в частности, к следующим О. к. Монотонные отображения- те, при к-рых прообраз каждой точки нульмерен. Конечнократные отображения характеризуются конечностью всех прообразов точек. Отображения, при к-рых прообраз каждого бикомпактного множества бикомпактен, наз. k-отображениями. Соединением ограничений первого и второго типа выделяются основные классы непрерывных отображений в общей топологии. Самими определениями О. к. естественно организуются в нек-рую иерархию, к-рая может быть положена в основу систематич. классификации топологич. пространств [1]. Эта классификация строится как результат решения вопросов следующих двух типов. Дан класс пространств , целесообразность выделения к-рого не вызывает сомнений, и пусть — нек-рый класс отображений из нашей исходной иерархии. Требуется охарактеризовать посредством внутренних топологич. инвариантов образы пространств из класса при всевозможных отображениях из класса . Вопросы второго типа аналогичны — требуется охарактеризовать прообразы пространств из класса при отображениях из класса . При решении вопросов указанных двух типов получаются совсем не очевидные теоремы общего характера. Напр., пространства с первой аксиомой счет-ности — это в точности образы метрич. пространств при непрерывных открытых отображениях. Пространства с равномерной базой и только они — образы метрит. пространств при открытых бикомпактных отображениях. Пространства Фреше — Урысона характеризуются как псевдооткрытые образы метрич. пространств, а секвенциальные пространства — это факторпространства метрич. пространств. Далее, прообразы метрич. пространств при совершенных отображениях — это в точности паракомпактные перистые пространства, а прообразами полных метрич. пространств являются паракомпактные пространства, полные но Чеху. Непрерывные образы пространств со счетной, базой — пространства со счетной сетью. При систематич. следовании указанному пути получается единая взаимная классификация пространств и отображений. Особую роль среди различных классов непрерывных отображений занимает класс, факторных отображений. Важнейшей особенностью факторных отображений является то, что они могут служить средством для построения новых топологич. пространств. А именно, если дано отображение f топологич. пространства X на нек-рое множество Y(напр., если рассматривается естественное отображение p пространства Xна множество всех ялементов нек-рого разбиения этого пространства), то на множестве Yвсегда можно ввести естественную топологию требованием, чтобы отображение f было факторным: множество объявляется открытым в том и только в том случае, если его полный прообраз f-1(V).открыт в пространстве X. Помимо уже названных, весьма важны неприводимые отображения, напр, в теории абсолютов. См. также Бифакторное отображение, Многозначное отображение. Лит.:[1] Архангельский А. В., "Успехи матем. паук", 19"В, т. 21, в. 4, к.133-84. А. В. Архангельский.