Особая Точка

1) О. т. аналитической функции f(z) — препятствие для аналитического продолжения элемента функции f(z) комплексного переменного zвдоль какого-либо пути на плоскости этого переменного. Пусть аналитическая функция f(z) определена некоторым вейерштрассовым элементом (U(z, R), fz), состоящим из степенного ряда и его круга сходимости с центром и радиусом сходимости R>0. Рассмотрим всевозможные пути , т. е. непрерывные отображения отрезка в расширенную комплексную плоскость , начинающиеся в центре этого элемента . Если аналитич. родолжение данного элемента возможно вдоль любого такого пути в любую точку , то получающаяся при этом полная аналитич. ция f(z) сводится к константе: f(z)=const. Для нетривиальных же аналитич. ций f(z)const характерно существование препятствии для аналитич. родолжения вдоль нек-рых путей L. Пусть точка арасширенной плоскости С расположена на пути , и на пути , причем аналитич. родолжение вдоль L1 и L2 осуществимо во все предшествующие точки z=j1(t), , и . Два таких пути L1 и L2 наз. эквивалентными по отношению аналитич. родолжению данного элемента (U(z, R), fz). в точку а, если для любой окрестности V(а).точки ав С существует такое число , что вейерштрассов элемент, получаемый из (U(z, R), fz) посредством аналитич. родолжения вдоль L1 до какой-либо точки , может быть продолжен вдоль нек-рого пути, расположенного в V(a), в элемент, получаемый посредством продолжения вдоль L2 из (U(z, R), fz). до какой-либо точки z"=j2(t"), t2-e<t"<t2. Если аналитич. родолжение в точку аосуществимо вдоль нек-рого пути L, то оно возможно и вдоль всех путей класса эквивалентности , содержащего L. В этом случае пара (a, ).наз. регулярной, или правильной; она определяет однозначную регулярную ветвь аналитич. ции f(z) в окрестности точки V(а). Если же аналитич. родолжение вдоль нек-рого пути , проходящего через , осуществимо во все точки , , предшествующие а, но не осуществимо в точку , то аесть особая точка при аналитическом продолжении элемента (U(z, R), fz) вдоль пути L. В этом случае она будет особой и при продолжении вдоль всех проходящих через апутей класса эквивалентности . Пара (a, ), состоящая из точки и класса эквивалентности путей L, проходящих через а, для каждого из к-рых точка аособая, наз. особой точкой аналитической функции f(z), определяемой элементом (U(z, R), fz). Две О. т. (a, ).и (b, ).считаются совпадающими, если а=b и совпадают и . При этом точка арасширенной комплексной плоскости наз. проекцией, или z-коордииатой, О. т. (a, );говорят также, что О. т. (a, ).расположена над точкой . В общем случае над одной и той же точкой могут располагаться несколько и даже счетное множество различных особых и регулярных пар (a, ), получающихся при аналитич. родолжении одного и того же элемента (U(z, R), fz). Если радиус сходимости исходного ряда (1) , то на окружности круга сходимости U(z, R).непременно имеется хотя бы одна особая точка аэлемента (U(z, R), fz), то есть О. т. аналитич. ции f(z) при продолжении вдоль путей , класса таких, что при . Иначе говоря, О. т. элемента (U(z, R), fz) — это такая точка , что непосредственное аналитич. родолжение элемента (U(z, R), fz) из круга U(z, R).в любую окрестность V(а).невозможно. В этой ситуации и вообще во всех случаях, когда отсутствие явного описания класса путей не может повести к недоразумениям, ограничиваются обычно только указанием z-координаты О. т. а. Изучение расположения О. т. аналитич. ции в зависимости от свойств последовательности коэффициентов исходного элемента (U(z, R), fz) является одним из важных направлений исследований в теории функций (см. Адамара теорема мультипликационная, Звезда, элемента функции, а также [1], [3], [5]). Известно, напр., что О. т. ряда где — натуральное число, заполняют всю границу его круга сходимости U(0,1), хотя сумма этого ряда непрерывна всюду в замкнутом круге Здесь окружность Г есть естественная граница аналитич. ции f0(z), аналитич. родолжение f0(z) за пределы круга U(0, 1). невозможно. Пусть в достаточно малой окрестности точки (или ) аналитич. родолжение элементов, получаемых вдоль путей определенного класса , возможно во все точки, отличные от а, т. е. по всем путям, расположенным в проколотой окрестности V'(a) = = (соответственно V'()=); тогда О. т. (a, ).наз. изолированной особой точкой. Если при этом аналитич. родолжение элементов, получаемых вдоль путей класса , по всевозможным замкнутым путям, расположенным в V(а), не изменяет этих элементов, то изолированная О. т. (a, ).наз. особой точкой однозначного характера. Такая О. т. может быть полюсом или существенно особой точкой: если существует бесконечный предел lim f(z)= при стремлении вдоль путей класса , то О. т. однозначного характера (a, ) наз. полюсом;если не, существует никакого конечного или бесконечного предела lim f(z) при стремлении z->a вдоль путей класса , то (a, )-существенно особая точка;случай конечного предела соответствует регулярной паре (a, ). Если же аналитич. родолжение элементов, получаемых вдоль путей класса , по замкнутым путям, окружающим в V' (а).точку а, изменяет эти элементы, то изолированная О. т. (a, ).наз. ветвления точкой, или особой точкой многозначного характера. Класс точек ветвления, в свою очередь, подразделяется на алгебраические точки ветвления и трансцендентные точки ветвления (включая логарифмические точки ветвления). Если после нек-рого конечного числа однократных обходов точки ав одном и том же направлении в V' (а). элементы, получаемые вдоль путей класса , принимают исходный вид, то ).есть алгебраич. точка ветвления и число т-1 наз. ее порядком. В противном случае, когда обходы точки a дают все новые и новые элементы, (a, ).есть трансцендентная точка ветвления. Напр., для функции точки (для всех путей) являются алгебраич. точками ветвления порядка 5. Как однозначную функцию точки f(z) можно представить только на соответствующей римановой поверхности S, состоящей из 6 листов над , определенным образом соединенных над точками . Кроме того, над точкой а=1 расположены три правильные ветви f(z), однозначные на трех соответствующих листах S;на одном листе Sрасположен полюс второго порядка и на двух листах S — полюсы первого порядка. Вообще, привлечении понятия римановой поверхности оказывается весьма удобным и плодотворным при изучении характера О. т. Если радиус сходимости исходного ряда (1) , то он представляет целую функцию f(z), голоморфную во'всей конечной плоскости С. Такая функция в случае имеет единственную изолированную О. т. однозначного характера; если при этом — полюс, то f(z) есть целая рациональная функция, или многочлен; если же — существенно особая точка, то f(z) есть целая трансцендентная функция. Мероморфная функция f(z) в конечной плоскости С получается, когда аналитич. родолжение ряда (1) приводит к однозначной аналитич. ции f(z) в С, имеющей в С в качестве О. т. только полюсы. Если при этом и есть полюс или регулярная точка, то общее число всех полюсов f(z) в расширенной плоскости конечно и f(z) есть рациональная функция. Для трансцендентной мероморфной функции f(z) в бесконечно удаленная точка может оказаться предельной точкой полюсов — это простейший пример неизолированной О. т. однозначной аналитич. ции. Мероморфная функция в произвольной области определяется аналогично. Вообще говоря, проекции неизолированных О. т. могут образовывать различные множества точек расширенной комплексной плоскости . В частности, какова бы ни была область , существует аналитич. ция в D, для к-рой Dявляется ее естественной областью существования, а граница Г= дD — естественной границей, так что аналитич. родолжение функции fD(z) за пределы области Dневозможно. При этом естественная граница Г состоит из достижимых и недостижимых точек (см. Граничные элементы). Если точка достижима вдоль путей класса (таких классов может быть и несколько), расположенных целиком, кроме конечной точки а, в области D, то над ней необходимо расположены только О. т. функции, fD(z), т. где , функции Х[: i=1, 2,...,n, непрерывны в нек-рой области Точка наз. особой точкой системы (3), если Х i(x0)=0, i=l,..., п. В противном случае x0 — обыкновенная точка этой системы. Пусть Н — множество О. т. системы (3) в области G. Если , то существуют индекс и окрестность Uточки x0 такие, что в Uсистема (3) представима в нормальной форме: Таким образом, поведение интегральных кривых системы (3) в окрестности обыкновенной точки описывается теоремами общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, справедлива следующая теорема о выпрямлении: если через любую точку х 0 множества проходит единственная интегральная кривая системы (3), то каждая точка этого множества имеет окрестность Vтакую, что семейство дуг интегральных кривых системы (3), заполняющих V, гомеоморфно (а если , i=l,..., п, то диффеоморфно) семейству параллельных прямых. Если же , то пары (i0, U), обладающей указанным выше свойством, не существует, и интегральные кривые системы (3) могут образовывать вблизи х 0 различные конфигурации. Так, для уравнения где а матрица — невырожденная, расположение интегральных кривых в окрестности точки (0, 0) может относиться к типу седло, узел, центр пли фокус. Соответствующее название закрепляется при атом и за самой точкой (0, 0). Систему (3) можно рассматривать как результат исключения времени tиз автономной системы дифференциальных уравнений Если (4) — система класса (, единственность) в G, то есть , и через каждую точку области G проходит единственная траектория системы, что далее и предполагается, то точки множества Нбудут для нее точками покоя ( равновесия положениями). Часто их наз. О. т. и для этой системы, поскольку они являются таковыми (по определению) для векторного поля X. Интегральные кривые системы (3), расположенные в , представляют собою траектории системы (4), отличные от состояний покоя. Таким образом, задачи о поведении интегральных кривых системы (3) в окрестности О. т. и о расположении траекторий системы (4) в окрестности положений равновесия эквивалентны. Исследования этих задач ведутся по двум основным направлениям. Одно направление, берущее свое начало в трудах А. Пуанкаре [1], ставит своей целью выяснение возможных топологич. типов расположения траекторий системы (4) в окрестности изолированной точки покоя (к-рую всегда ложно считать совпадающей с началом координат 0( х=0)). и отыскание аналитич. ритериев их различения. Наиболее законченные результаты получены здесь для того случая, когда система (4) представима в виде где А — постоянная невырожденная матрица, f(x).о(||x||) при . В этом случае точка Оназ. простой, или невырожденной, особой точкой системы (4). Для системы (5) установлена следующая теорема о топологической эквивалентности: если матрица Ане имеет чисто мнимых собственных значений, а функция то существует гомеоморфизм hокрестности Uточки Она окрестность Vтой же точки, переводящий траектории системы (5) в траектории линейной системы Гомеоморфизм , осуществляющий топологич. соответствие между траекториями систем (5) и (6), в общем случае не является (и не может быть заменен) диффеоморфизмом. При условиях этой теоремы точка покоя Осистемы (5) относится к тому же топологич. типу, что и точка покоя Осистемы (6). В частности, для системы 2-го порядка она будет при этом седлом, если собственные значения l1,l2 матрицы Аудовлетворяют условию l1l2<0, топологическим узлом (узлом или фокусом), если l1l2>0 (при чисто мнимых l1,l2 точка Одля системы (6) — центр, а для системы (5) — центр, фокус или центро-фокус). Если матрица Аимеет чисто мнимые или нулевые собственные значения, то топологич. эквивалентности между системами (5) и (6) в окрестности точки Ов общем случае нет. При этих условиях поведение траекторий системы (5) в окрестности точки Овесьма детально изучено в тех случаях, когда матрица Аимеет не более двух собственных значений с нулевыми действительными частями, а функция f — аналитическая. В частности, для системы 2-го порядка с ненулевой матрицей Авыяснены все возможные топологич. типы расположения траекторий в окрестности точки Ои даны коэффициентные критерии их различения с точностью до различения центра и фокуса [9]. Здесь, кроме седла, топологич. узла и центра, точка Оможет быть: двухсепаратрисным седлом, седло-узлом (некрая окрестность Uточки Оразбивается тремя примыкающими к Отраекториями (сепаратрисами) на три сектора: два гиперболических, заполненных траекториями, к-рые обоими концами покидают U, и один параболический, заполненный траекториями, к-рые одним концом покидают U, а другим примыкают к О).и точкой (нек-рая ее окрестность Uразбивается сепаратрисами на 4 сектора: один гиперболический, два параболических и один эллиптический, заполненный траекториями, к-рые обоими концами примыкают к О, охватывая друг друга). Для системы 2-го порядка с нулевой матрицей Аразработаны алгоритмы расщепления особенности (см., напр., Фроммера метод), позволяющие с помощью конечного числа шагов процесса расщепления выяснить тоиологич. тип точки Ос точностью до решения задачи о различении центра и фокуса. Последняя задача (см. Центра и фокуса проблема).возникает для системы 2-го порядка вида (5) в случае, когда матрица Аимеет чисто мнимые собственные значения, и может возникать в случае двух нулевых собственных значении этой матрицы. Она решена для частных классов таких систем. Важной характеристикой изолированной точки покоя Осистемы (4) является ее индекс Пуанкаре. Для п =2 он определяется как вращение векторного ноля Xпри обходе точки Опо окружности достаточно малого радиуса р в положительном направленпп, измеренной в единицах полного оборота. Напр., индекс простого седла равен -1, индекс узла, фокуса и центра равен 1. При произвольном пиндекс точки Оопределяется как стеиенг, отображения hсферы достаточно малого радиуса р на себя, определенного формулой: Это направление развилось в обширную качественную теорию дифференциальных уравнений, а центр тяжести исследований переместился с локальных проблем на глобальные — изучение поведения траекторий системы (4) во всей области задания G, к-рая все чаще предполагается гладким многообразием той или иной природы. Другое направление, заложенное трудами А. М. Ляпунова [2], занимается исследованном решений (в частности, состояний равновесия) систем вида (4), а также неавтономных систем дифференциальных уравнений на устойчивость. Оно представляет собою разветвленную теорию устойчивости движения (см. Устойчивости теория). В комплексном анализе вводится понятие О. т. дифференциального уравнения а также системы дифференциальных уравнений где z — комплексная переменная, Р — рациональная функция от w, w', . . ., w(n-1) или от компонент w1,w2,...,wn