Ортогональное Преобразование

Линейное преобразование Аевклидова пространства, сохраняющее длины или (что эквивалентно этому) скалярное произведение векторов. О. п. и только они переводят ор-тонормированный базис в ортонормированный. Необходимым и достаточным условием ортогональности является также равенство А*=А -1, где А* — сопряженное, а А -1 — обратное линейные преобразования. В ортонормированием базисе О. п. (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Собственные значения О. п. равны +1, а собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Определитель О. п. равен +1 (собственное О. п.) или -1 (несобственное О. п.). В случае евклидовой плоскости всякое собственное О. п. является поворотом, и его матрица в подходящем ортонормированием базисе имеет вид где j — угол поворота, а всякое несобственное О. и. является отражением относительно нек-рой прямой, его матрица в подходящем ортонормированном базисе имеет вид В трехмерном пространстве всякое собственное О. п. есть поворот вокруг нек-poй оси, а всякое несобственное — произведение поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости. В произвольном n-мерном евклидовом пространстве О. п. также сводятся к поворотам и отражениям (см. Вращение). Множество всех О. п. евклидова пространства образует группу относительно умножения преобразований — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные О. п. образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу). Т. С. Пиголкина.