Ортогональная Система

1) О. где m=2n+k, , т=2,3, ... . Ряды по системе Хаара представляют типичный пример мартингалов и для них верны общие теоремы из теории мартингалов. Кроме того, система является базисом в Lp[0,1], , и ряд Фурье по системе Хаара любой интегрируемой функции почти всюду сходится. 2) Система Радемахера представляет собой важный пример О. с. независимых функций и имеет применения как в теории вероятностей, так н в теории ортогональных и общих функциональных рядов. 3) Система Уолша — Пэли определяется через функции Радемахера: где числа ти qk определяются из двоичного разложения числа п: 4) Система Франклина получается ортогонализацией методом Шмидта последовательности функций Она является примером ортогонального базиса пространства С[0, 1] непрерывных функций. В теории кратных ортогональных рядов рассматриваются системы функций вида где — ортонормированная система в L2[a, b]. Такие системы ортонормированы на m-мерном кубе Jm =[a, b]x . ..x[ а, b] и полны, если полна система Лит.:[l] Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; [2] Итоги науки. Математический анализ, 1970, М., 1971, с. 109-46; [3] там же, с. 147- 202; [4] Дуб Д ж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [5] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962; [6] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1-2, М., 1965. А. А. Талалян.