Орнштейна — Уленбека Процесс

Гауссовский стационарный случайный процесс V(t).с нулевым математич. ожиданием и экспоненциально затухающей корреляционной функцией вида О. — У. п. может быть также определен как стационарное решение стохастич. уравнения (уравнения Ланжевена) вида где W(t) — винеровский процесс (так что =W'(t) — обобщенный случайный процесс белого шума), a m и b — положительные постоянные, причем b/m=a. Уравнение (*) приближенно описывает одномерное броуновское движение свободной частицы; при этом V(t).интерпретируется как скорость частицы, т- ее масса, — bV (t) — пропорциональная скорости сила "вязкого трения" (для сферич. частицы радиуса акоэффициент b равен 6pha, где h) — коэффициент вязкости, в силу гидродинамич. формулы Стокса), а белый шум W'(t) — это "случайная сила", порожденная хаотич. толчками молекул среды, находящихся в тепловом движении, и являющаяся основной причиной броуновского движения. В первоначальной теории броуновского движения, развитой А. Эйнштейном (A. Einstein) и М. Смолуховским (М. Smoluchowski) в 1905-06, пренебрегалось инерцией частицы, т. е. считалось, что m=0; при этом уравнение приводило к выводу, что координата броуновской частицы равна b-1W(t), т . е. представляет собой винеровский процесс. Таким образом, винеровский процесс описывает модель Эйнштейна — Смолуховского броуновского движения (отсюда другое его название — процесс броуновского движения); т. к. этот процесс недифференцируем, то в теории Эйнштейна — Смолуховского частица, совершающая броуновское движение, не имеет конечной скорости. Уточненная теория броуновского движения, опирающаяся на уравнение. , где , была предложена Л. Орнштейном и Дж. Уленбеком ([1]; см. также [2]); позже та же теория была выдвинута С. Н. Бернштейном [3] и А. Н. Колмогоровым [4]. В теории Орнштейна — Уленбека скорость V(t).броуновской частицы является конечной, но ее ускорение бесконечно (так как О.- У. п. недифференцируем); для того чтобы и ускорение оказалось конечным, надо уточнить теорию, учтя отличие случайной силы от идеализированного белого шума W'(t). Уравнение можно использовать и для описания одномерного броуновского движения гармонич. осциллятора, если пренебречь его массой и считать, что V(t) — это координата осциллятора, — сила вязкого трения, -bV — регулярная упругая сила, удерживающая осциллятор, a W'(t).- случайная сила, создаваемая молекулярными толчками. Таким образом, О.- У. п. доставляет также модель пульсаций координаты гармонич. осциллятора, совершающего броуновское движение, родственную модели Эйнштейна — Смолуховского броуновского движения свободной частицы. О.- У. п. является однородным по времени марковским процессом диффузионного типа (см. Диффузионный процесс);наоборот, процесс V(t), являющийся одновременно стационарным случайным процессом, гауссовским процессом и марковским процессом, обязательно представляет собой О.- У. п. Как марковский процесс О.- У. п. удобно характеризовать его переходной плотностью вероятности р(t, x, у), представляющей собой фундаментальное решение соответствующего уравнения Фоккера — Планка (т. е. прямого Колмогорова уравнения).вида и, следовательно, задаваемой формулой Многие свойства О.- У. п. V(t).(включая и его марковость) можно вывести из известных свойств винеровского процесса, воспользовавшись тем, что процесс является стандартным винеровским процессом (см. [5]). В частности, отсюда следует, что реализации О.- У. п. непрерывны и нигде не дифференцируемы с вероятностью 1 и что с вероятностью 1. Лит.:[1] Uhlenbесk G. Е., Оrnstein L. S., "Phys. Rev.", 1930, v. 36, p. 823-41; [2] Чандрасекар С., Стохастические проблемы в физике и астрономии, пер. с англ., М., 1947; [3] Бернштейн С. Н., "Докл. АН СССР", 1934, т. 1, № 1,с. 1-9; № 7, с. 361-65; [4] Ко1mоgоrоv A. N.,"Ann. Math.", 1934, v. 35, p. 116 — 17; [5] Doob J. L., "Ann. Math.", 1942, v. 43, p. 351 — 69. А. M. Яглом. OPPA — ЗОММЕРФЕЛЬДА УРАВНЕНИЕ — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение где R- число Рейнольдса, w(y).- заданная функция (профиль скорости невозмущенного потока), к-рая обычно предполагается голоморфной в окрестности отрезка [-1, 1] в комплексной плоскости y, a>0 — постоянная и с — спектральный параметр. Для О.- 3. у. исследуется краевая задача О.- 3. у. возникло при исследовании У. Орром [1] и А. Зоммерфельдом [2] устойчивости в линейном приближении плоского течения Пуазёйля — течения вязкой несжимаемой жидкости в слое -1<y<1 с твердыми границами; возмущение для функции тока берется в виде . Собственные значения задачи (1), (2), вообще говоря, комплексны; течение устойчиво, если Imc<0 для всех собственных значений, и неустойчиво, если Imc>0 для нек-рого из них. Кривая Imc (a, R)=0 наз. нейтральной кривой. Течение Пуазёйля устойчиво ггри небольших числах Рейнольдса. В. Гейзенберг [6] впервые высказал предположение, что течение Пуазёйля неустойчиво при больших числах Рейнольдса, и вычислил 4 точки нейтральной кривой. Для квадратичного профиля скорости установлено, что течение неустойчиво при Асимптогич. теория О.- 3. у. построена в предположении, что — малый параметр. Точка у с, в к-рой w(yc)=0, является точкой поворота (см. Малого параметра метод). В малой окрестности точки О. — 3. у. имеет фундаментальную систему решений вида где , — фундаментальная система решении невязкого (то есть aR = 0) уравнения Исследование задач (1), (2) связано, напр., со следующими трудностями: 1) невязкос уравнение в окрестности точки у=у с имеет голоморфное в ней решение и решение с логарифмич. особенностью; 2) при малых | с| (т. е. в наиболее важном случае) точки поворота сливаются с концами отрезка [-1, 1] (напр., для квадратичного профиля скорости w=1- у 2). При получено строгое обоснование неустойчивости (см. [3], [4]). Лит.:[1] Оrr W. М с P., "Proc. R. Irish. Acad. A", 1907. V. 27, р. 9-68, 69-138; [2] Sommerfeld А., в кн.: Atti del IV Congresso internazionale del matematici (Roma, 1908), 1909, p. 116-24; [3] ЛиньЦзя-Цзяо, Теория гидродинамической устойчивости, пер. с англ., М., 1958; [4] Гидродинамическая неустойчивость. Сборник, пер. с англ., М., 1964; [5] Gеrsting J.M., Janowski D. F., "Internat. J. Num. Meth. in Eng.", 1972, v. 4, p. 195-206; [6] Heisenberg W., "Ann. Phys.", 1924, Bd 74, № 15, S. 577-627, M. B. Федорюк.