Ограниченного Вида Функция

В области Dкомплексной плоскости — мероморфная функцияв облавти D, представимая в Dв виде отношения двух ограниченных аналитич. ций: Наиболее изучен класс О. в. ф. в единичном круге . Для того чтобы мероморфная в D функция , необходимо и достаточно, чтобы ее характеристика Т(r; f) была ограниченной (теорема Неванлинны): Здесь сумма в правой части составлена по всем полюсам функции f(z) таким, что причем каждый полюс берется столько раз, каков его порядок; — порядок полюса в начале координат. Поэтому О. в. ф. класса наз. также функциями с ограниченной характеристикой. Представляет интерес также следующее достаточное условие: если мероморфная функция в не принимает множества значений Еположительной емкости,cap Функции f (z) класса обладают следующими свойствами: 1) почти всюду на единичной окружности функция имеет угловые граничные значения , причем 2) если на множестве точек Г положительной меры, то ; 3) функции характеризуются интегральным представлением вида где — целое число такое, что — действительное число; Бляшке произведения, составленные по всем нулям и полюсам функции внутри с учетом их кратности; — сингулярная функция ограниченной вариации на с производной, равной нулю почти всюду. Важное значение имеет также подкласс класса , состоящий из всех голоморфных О. в. ф. f(z)в . Для того чтобы голоморфная функция необходимо и достаточно, чтобы выполнялось вытекающее из (2) условие Для функций в характеристич. представлении (3) Условие (4) равносильно требованию, чтобы суб-гармонич. функция имела гармонич. мажоранту во всем круге . В такой форме это условие употребляется обычно для определения класса голоморфных функций в произвольных областях тогда и только тогда, когда имеет гармонич. мажоранту во всей области D. Пусть функция реализует конформное универсальное накрывающее отображение это — однозначная аналитич. ция в , автоморфная относительно соответствующей области группы Gдробно-линейных отображений круга на себя. Для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы суперпозиция была автоморфной относительно Gи . Если область Dконечносвязная и ее граница спрямляемая, то угловые граничные значения функции существуют почти всюду на , причем суммируем по гармонич. мере на (подробнее см. обзор [4]). Пусть теперь — голоморфная функция многих переменных в единичном поликруге — остов поликруга . Класс функций с ограниченной характеристикой определяют условием, обобщающим условие (4): где — нормированная мера Хаара на . Голоморфная функция класса почти всюду на по мере Хаара т n имеет радиальные граничные значения причем суммируем на . Оставляя для О. в. ф. в первоначальное определение (1), получают, что О. в. ф. f(z) является функцией с ограниченной характеристикой, . Однако при имеются функции , заведомо не представимые в виде отношения двух ограниченных голоморфных функций (см. [5]). Лищ.:[1] Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1988; [3] Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.- Л., 1950; [4] Итоги науки. Математический анализ. 1963, М., 1965, с. 5-80; [5] Рудин У., Теория функций в поликруге, пер. с англ., М., 1974. Е. Д. Соломенцев.