Однородное Комплексное Многообразие

Комплексное многообразие М, группа автоморфизмов к-рого транзитивно действует на М. Все односвязные одномерные комплексные многообразия — сфера Римана, комплексная плоскость и верхняя комплексная полуплоскость — однородны. Многообразие G/H смежных классов комплексной группы Ли Gпо замкнутой комплексной подгруппе Нявляетси О. к. м. Среди компактных О. к. м. выделяются комплексные флаговые многообразия, к числу к-рых относятся все компактные эрмитовы симметрические пространства[8]. Комплексные флаговые многообразия могут быть охарактеризованы как односвязные компактные однородные кэлеровы многообразия[4], а также как многообразия , Где G- полупростая комплексная группа Ли, U- ее параболич. подгруппа. Всякое компактное О. к. м. допускает однородное коломорфное расслоение над флаговым многообразием со слоем, изоморфным многообразию смежных классов комплексной группы Ли по дискретной подгруппе (см. Титса расслоение, а также [6], [9]). Другой важный класс О. к. м. составляют однородные ограниченные области (о. о. о.), к числу к-рых относятся, в частности, симметрич. области, двойственные компактным эрмитовым симметрич. пространствам. Флаговые многообразия и о. о. о. представляют собой частные случаи однородных кэлеровы х многообразий (т. е. кэлеровых многообразий, на к-рых транзитнвно действует группа аналитич. автоморфизмов, сохраняющих кэлерову метрику). Существует гипотеза [2], что всякое однородное кэлерово многообразие допускает однородное голоморфное расслоение, базой к-рого служит о. о. о., а слоем — прямое произведение флагового многообразия и многообразия смежных классов комплексного векторного пространства по дискретной подгруппе. Эта гипотеза доказана для однородных кэлеровых многообразий, допускающих полупростую [1] или вполне разрешимую [2] транзитивную группу автоморфизмов, а также для компактных однородных кэлеровых многообразий, которые, таким образом, изоморфны прямым произведениям флаговых многообразий и комплексных торов [10]. В теории О. к. м. важную роль играет каноническая эрмитова форма . По любой гладкой мере (х на комплексном многообразии М, задаваемой внешней дифференциальной формой может быть построена эрмитова дифференциальная форма (вообще говоря, вырожденная), не зависящая от выбора системы координат и не меняющаяся при умножении меры m на константу. Если мера m определена стандартным образом по какой-либо кэлеровой метрике на М, то форма совпадает с формой Риччи этой метрики [7]. Если потребовать, чтобы мера m. была инвариантна относительно какой-либо транзитивной группе автоморфизмов многообразия М, то она будет определена этой группой однозначно с точностью до умножения на константу, а форма — вполне однозначно. В случае, когда М- о. о. о., определенная таким образом эрмитова форма положительно определена и совпадает с метрикой Бергмана. Для флаговых многообразий форма hm отрицательно определена. Канонпч. эрмитова форма О. к. м. может быть вычислена в терминах соответствующей алгебры Ли [3]. Это служит основой для алгебраизации теории о. о. о. и других О. к. м. Одно из направлений в теории О. к. м. состоит в изучении голоморфных функций на них при помощи аппарата линейных представлений групп Ли. Напр. этим способом доказано [5], что многообразие G/H смежных классов полупростой комплексной группы Ли Gпо связной замкнутой комплексной подгруппе Нявляется многообразием Штейна тогда и только тогда, когда подгруппа Нредуктивна. Существуют О. к. м., не допускающие транзитивной группы Ли автоморфизмов [11]. Лит.:[1] В orel A., "Proc. Nath. Acad. Sci. USA", 1954, v. 40, p. 1147-51; [2] Винберг Э. Б., Гиндикин С. Г., "Матем. сб.", 1967, т. 74, № 3, с. 357-77; [3] Ковzul J. L., "Canad. J. Math.", 1955, v. 7, № 4, p. 652-76; [4] Liсhnerоwiсz А., в кн.: Geometrie differentielle, P., 1953, p. 171 — 84; [5] Онищик А. Л., "Докл. АН СССР", 1960, т. 130, с. 726- 29; [6] Tits J., "Comm. math, helv.", 1962/1963, t. 37, p. 111 — 20; [7] Фукс Б. А., Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных, М., 1963; [8] Хелгасон С, Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [9] Wang H.-C, "Amer. J. Math.", 1954, v. 76, № 1, p. 1-32; [10] Воrеl А., Remmеrt R., "Math. Ann.", 1962, Bd 145, № 5, p. 429-39; [11] Kaup W., "Invent, math.", 1967, v. 3, № 1, p. 43-70. Э. В. Винберг.