Образ Морфизма

Категории — понятие, аналогичное понятию образа отображения одного множества в другое. Однако в теории категорий существует несколько подходов к определению этого понятия. Наиболее простой подход тесно связан с понятием би-категории. Пусть в категории существует бикатегорная структура .....-класс допустимых эпиморфизмов,- класс допустимых мономорфизмов. Если — произвольный морфизм из и — допустимое разложение , т. е. то подобъект (] объекта В, определяемый мономорфизмом , наз. (допустимым) образом морфизма (относительно заданной бикатегорной структуры). Если в имеется единственная бикатегорная структура, то можно говорить об О. м.. В частности, в категориях множеств, групп, векторных пространств над нек-рым полем сформулированное определение приводит к обычному понятию образа отображения или гомоморфизма. С другой стороны, если в категории существует несколько бикатегорных структур, то один и тот же морфизм может иметь разные образы относительно различных бикатегорных структур. Подобная ситуация имеет место, напр., в категориях топологич. пространств и ассоциативных колец. Другой подход к определению О. м. состоит в следующем. Говорят, что морфизм проходит через подобъект (] объекта В, если можно представить в виде . Наименьший подобъект объекта В, через к-рый проходит , наз. образом . Если категория локально мала слева и в существуют пределы семейств мономорфизмов с общим концом, то каждый морфизм из имеет образ. Если в имеется бикатегорная структура, в к-рой все мономорфизмы допустимы, то второе определенно О. м. эквивалентно определению О. м. относительно указанной бикатегорной структуры. О. м. обычно обозначается ; через обозначается любой представитель подобъекта М. Ш. Цаленко.