Обобщенного Сдвига Операторы

Гипергруппа,- понятие, возникшее в результате аксиоматизации нек-рых свойств операторов сдвига в пространствах функций на группе. В терминах операторов группового сдвига можно сформулировать такие важные математич. понятия как свертка, групповая алгебра, положительно определенная функция, почти периодическая функция и др. В рамках теории О. с. о. удается получить далеко идущие обобщения фундаментальных принципов и результатов, связанных с указанными понятиями. В частности, теория О. с. о. имеет существенные приложения к гармоническому анализу абстрактному. Термины "О. с. о." и "гипергруппа" принадлежат Ж. Дельсарту (см. [1] — [3]). Ему же принадлежат важные идеи и ряд первоначальных результатов в данной области. Систематич. построение теории О. с. о. дано главным образом в работах Б. М. Левитана (см., напр., [4] — [7]). Основные понятия. Пусть Н- произвольное множество, Ф — нек-рое векторное пространство комплекснозначных функций, определенных на Н. Пусть каждому элементу сопоставлен линейный оператор в Ф, причем при любом фиксированном функция содержится в Ф для всех . Линейный оператор в Ф обозначается (т. е. ). Линейные операторы наз. операторами обобщенного сдвига, если выполнены следующие условия (аксиомы) : 1) для любых (аксиома ассоциативности), 2) существует в Нтакой элемент е, наз. нейтральным, что , где I — тождественный оператор. В таком случае множество Нназ. гипергруппой, так что понятия "О. с. о." и "гипергруппа" равносильны. Операторы часто наз. операторами правого сдвига, тогда как наз. операторами левого сдвига. О. с. о. очевидным образом возникают в любом инвариантном относительно сдвигов векторном пространстве функций на произвольной полугруппе с единицей, напр, на группе. Пусть где — произведение элементов h, х в полугруппе, а тогда аксиома ассоциативности сводится к ассоциативности умножения в полугруппе, а нейтральным элементом является единица полугруппы, так что операторы R x образуют семейство О. с. о. Нетривиальные примеры приводятся ниже. В общем случае не образуют О. с. о., так как оператор не обязан быть тождественным. Однако является проектором, и его образ наз. основным поДпространством в Ф. В пространстве операторы образуют семейство О. с. о., и симметрия между операторами левого и правого сдвига восстанавливается. Часто вторую из аксиом О. с. о. усиливают требованием, чтобы , т. е. Условия 1) и 2) являются наиболее общими аксиомами О. с. о. Накладывая дополнительные условия, можно выделять более узкие классы О. с. о. Если для всех то О. с. о. Rx наз. коммутативными; в этом случае и гипергруппа Нназ. коммутативной. Если относительно Н делаются дальнейшие предположения, то для О. с. о. естественным образом возникают новые условия. Напр., если Н- локально бикомпактное пространство с мерой т, то обычно требуется, чтобы операторы и согласованно действовали в пространстве С(Н)непрерывных функций на Ни в пространствах причем на и накладываются дополнительные условия типа непрерывности; если Н- гладкое многообразие, то накладываются условия типа дифференцируемоеЩ, и т. п. Различные варианты аксиоматики даны в [1], [3] — [6], [8], [15] — [20]. Примерно, с. о., связанных с группами. Операторы обобщенного сдвига Дельсарта. Пусть G- топологич. группа, К- нек-рая бикомпактная группа автоморфизмов группы — мера Хаара на Ки . В пространствеФ=С(G) непрерывных функцийна GО. с. о. определяются с помощью равенства где — образ элемента при автоморфизме — произведение элементови в G. Нейтральным элементом является единица группы. Обе аксиомы О. с. о. выполняются; если Gкоммутативна, то коммутативны и О. с. о. Дельсарта. Основное подпространство состоит из всех функций, постоянных на орбитах относительно действия группы К, а операторы совпадают в если хи улежат на одной орбите. Поэтому пространство орбит Нтакже можно наделить структурой гипергруппы, отождествляя с пространством непрерывных функций на Ни полагая где х- произвольный элемент орбиты h. Если G совпадает с , а группа автоморфизмов состоит из двух элементов (отражение относительно нуля и тождественное отображение), то В этом случае основное подпространство состоит из четных функций, а пространство орбит отождествляется с полуосью Другой частный случай О. с. о. Дельсарта получается при и при этом основное подпространство состоит из центральных функций на К, а гипергруппа, образованная орбитами, т. е. классами сопряженных элементов, коммутативна. Двойные классы смежности по бикомпактной подгруппе. Пусть G- локально бикомпактная группа, К- ее бикомпактная подгруппа, Н- пространство двойных классов смежности по подгруппе К(такой класс вместе с элементом содержит и все элементы вида , где ,). Если К- нормальный делитель в G, то Нсовпадает с факторгруппой . Пусть Ф — пространство, состоящее из всех таких непрерывных функций на G, что для любых элементов . О. с. о. определяется формулой Пространство Ф можно отождествить с пространством С(Н) непрерывных функций на Ни так же, как для О. с. о. Дельсарта, можно наделить Hструктурой гипергруппы. Если G- линейная полупростая группа Ли, К- ее максимальная бикомпактная подгруппа, то гипергруппа Нкоммутативна и тесно связана со сферич. функциями на G(в частности, все сферич. функции лежат в Ф). В описанных выше примерах наряду с пространствами непрерывных функций можно рассматривать и другие функциональные пространства (см. [8], [13], [15] — [19]). Гиперкомплексные системы. Пусть Ф — конечная гиперкомплексная система, т. е. конечномерная ассоциативная алгебра с фиксированным базисом Алгебра Ф отождествляется с пространством функций на конечном множестве Н, причем функции соответствует элемент Пусть где — произведение элементов и x в алгебре Ф. Операторы образуют семейство О. с. о. тогда и только тогда, когда один из элементов базиса Нявляется правой единицей в алгебре Ф; указанным способом устанавливается соответствие между любыми О. с. о. в пространстве функций на конечном множестве и конечными гиперкомплексными системами. Таким образом, понятие О. с. о. можно рассматривать как далеко идущее обобщение классич. понятия гиперкомплексной системы. Важные примеры О. с. о., к-рые естественно трактовать как гпперкомплексные системы со счетным или континуальным базисом, рассмотрены, напр., в [4], [5], [8]. Генераторы и теоремы Ли для О. с. о. Пусть гипергруппа Нявляется дифференцируемым (или комплексно-аналитическим) многообразием и — дифференцируемая (соответственно голоморфная) функция на при всех . Пусть — локальные координаты точки , причем система координат выбрана так, что нейтральный элемент имеет координаты (0, ..., 0). Генераторами (инфинитезимальными операторами) правого сдвига k- топорядка для О. с. о. наз. линейные операторы вида где . Аналогично генераторы левого сдвига определяются равенством Из аксиомы ассоциативности можно вывести, что любой генератор левого сдвига коммутирует со всеми генераторами правого сдвига (равно как и с операторами ). Дифференцирование условия; ассоциативности по переменным соответствующее число раз дает при систему уравнений где . Эту систему следует рассматривать как обобщение на случай О. с. о. первой прямой теоремы Ли (см. [3] для О. с. а. Дельсарта и [5] для общего случая). Не обязательно привлекать все уравнения системы (*), чтобы определить и( х, у). Напр., для сдвига на группе Ли уже генераторы 1-го порядка однозначно определяют функцию и(т. е. групповое умножение). В общем случае нек-рые генераторы низших порядков могут вырождаться, напр, в умножение на константу, так что соответствующие уравнения системы (*) не содержат полезной информации. Поэтому возникает задача: отобрать минимальное число уравнений из системы (*), однозначно определяющих О. с. о. При этом вырождающиеся генераторы пополняют число начальных условий. Если конечная система вида (*) при нек-рых начальных условиях, среди к-рых содержится условие , однозначно определяет решение , причем операторы, стоящие в левых частях системы, коммутируют со всеми операторами, стоящими в правых частях, то операторы суть О. с. о. Это утверждение является аналогом первой обратной теоремы Ли [5]. Для нек-рого класса О. с. о. доказаны (см. [5]) аналоги второй и третьей (прямой и обратной) теорем Ли. В частности, в пространстве бесконечно дифференцируемых функций от ппеременных построены О. с. о., для к-рых генераторы правого (левого) сдвига порождают любую заданную n-мерную алгебру Ли. Получено явное описание этих генераторов в виде интегро-дифференциальных операторов 2-го порядка [10]. С помощью аналогичной техники построены [11] генераторы любого порядка, действующие в пространстве целых аналитич. ций (от ппеременных) и порождающие любую n-мерную вещественную алгебру Ли; по этим генераторам восстанавливаются О. с. о. Можно строить О. с. о., исходя не только из алгебр Ли, но и из коммутационных соотношений более общего вида (см. [7], [12]). Так, напр., уже в [1] О. с. о. на прямой строились исходя из явно заданного генератора 2-го порядка с помощью ряда, аналогичного ряду Тейлора, к-рый дает разложение обычного сдвига по степеням оператора дифференцирования. Подробно описаны коммутативные О. с. о. на прямой с генератором 2-го порядка типа Штурма — Лиувилля (см. [4], [5]) и указаны приложения к операторам и уравнениям Штурма — Лиувилля. Дана [14] полная классификация О. с. о. с генератором типа Штурма — Лиувилля (в том числе некоммутативных) в пространстве дифференцируемых функций на прямой. Представления О. с. о. и гипергрупповые алгебры. Теория представлений для О. с. о. не столь хорошо разраб.