Обобщенное Решение

Обобщение понятия классич. решений дифференциальных (псевдодифференциальных) уравнений. Это понятие возникло в связи с многими задачами математич. физики, когда под решениями дифференциальных уравнений потребовалось понимать функции, не имеющие достаточного числа производных, и даже вовсе недифференцпруемые функции, а также более общие объекты — обобщенные функции, гиперфункции и т. д. Поэтому понятие О. р. тесно связано с понятием обобщенной производной и вообще обобщенной функции. Под обобщенным решением дифференциального уравнения в классе . понимается всякая обобщенная функция ииз , удовлетворяющая уравнению (1) в О, т. е. для любой основной функции должно быть выполнено равенство — сопряженный оператор к Lв смысле Лагранжа: О. р. краевых задач для дифференциальных уравнений удовлетворяют краевым условиям в надлежащем обобщенном смысле (в L р( дО). или D'( дО )и т. д.), напр.: ), О. р. краевых задач для дифференциальных уравнений возникают при решении их вариационными методами, при применении разностных методов, а также как слабые пределы классич. решений при применении Фурье метода, предельного поглощения принципа, предельной амплитуды принципа, методов, связанных с введением вязкости, и т. д. Примеры. 1) Общее решение уравнения в классе дается формулой где — функция Хевисайда: — дельта-функция Дирака, — здесь и далее произвольные постоянные.2) Уравнение имеет одно решение в классе , равное а в классе гиперфункций общее решение его дается формулой 3) Общее решение волнового уравнения в классе дается формулой где f и g- произвольные функции класса4) Всякое решение ииз D'(0) уравнения Лапласа — (вещественно) аналитическое в О.5) Всякое решение ииз D' уравнения теплопроводности — бесконечно дифференцируемое.6) Всякий дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение (медленного роста) из класса S'.7) Всякое уравнение — дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, имеет при любом из О. р. и из если О- ограниченная область.8) О. р. икраевой задачи в классе Соболева возникает как решение классической вариационной задачи о минимуме квадратичного функционала в классе . Решение этой вариационной задачи при любом f из существует и единственно в классе . Таким образом, О. р. краевой задачи (2) при всех дают самосопряженное расширение оператора (жесткое расширение, или расширение по Фридрихсу). О. р. краевой задачи (2), как и все их производные,- регулярные в О(т. е. типа локально интегрируемых функций в О), вторые их, производные, вообще говоря,- сингулярные обобщенные функции. Лит.:[1] Соболев С. Л., "Матем. сб.", 1936, т. 1, № 1, с. 39-72; [2] его же, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосиб., 1962; [3] Schwartz L., Theorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51; [4] Гельфанд И. M, Шилов Г. Е., Некоторые вопросы дифференциальных уравнений, М., 1958; [5] Хёрмандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. с англ., М., 1965; [6] Hyperfunctions and pseudo-differential eduations, В.- [u. a.], 1973; [7] Владимиров В. С, Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [8] его же, Обобщенные функции в математической физике, М., 2 изд., 1979. В. С. Владимиров.