Нормирование

Логарифмическое нормирование, оценка поля,- отображение поля Кв где Г — линейно упорядоченная абелева группа, а присоединяемый элемент считается больше любого элемента из группы и для любого . При этом Н. должно удовлетворять следующим условиям: Образ при отображении vявляется подгруппой группы Г и называется группой значений нормирования v. Всюду в дальнейшем будет предполагаться, что совпадает с Г. Теми же аксиомами определяется логарифм и-ческое нормирование колец. Всякое кольцо с неархимедовым абсолютным значением может быть превращено в логарифмически нормированное кольцо, если в группоиде значений перейти от мультипликативной записи к аддитивной и заменить упорядоченность на инверсную. Элемент 0 при этом естественно обозначить символом . Обратный переход от кольца с логарифмическим Н. к кольцу с неархимедовым абсолютным значением также возможен. Если в кольце было задано неархимедово вещественное нормирование, то соответствующий переход можно получить, заменяя любое положительное действительное число числом . Получающееся при этом логарифмическое Н. также принято называть вещественным. Нормирования наз. эквивалентными, если существует такой изоморфизм упорядоченных групп, что для всех ненулевых элементов Множество таких элементов хполя К, что , является подкольцом Аполя Ки наз. кольцом нормирования ев поле К. Кольцо Н. всегда является локальным кольцом. Элементы поля К, для которых образуют максимальный идеал кольца А; он наз. идеалом нормирования v. Факторкольцо , являющееся полем, наз. полем вычетов нормирования . Пусть в поле Кзаданы Н. и . Кольца этих Н., рассматриваемые как подкольца поля К, тогда и только тогда совпадают, когда эти Н. эквивалентны. Таким образом, обозрение всех (с точностью до эквивалентности) Н. поля Ксводится к обозрению всех таких подколец, которые могут служить для этого поля кольцами Н. Описание таких подколец дает следующая теорема: подкольцо Аполя Ктогда и только тогда может служить для этого поля кольцом Н., когда для всякого ненулевого элемента , хотя бы один из элементов принадлежит к А. Кольцо Н., таким образом, может быть абстрактно определено как целостное кольцо (область целостности), удовлетворяющее условию сформулированной выше теоремы по отношению к своему полю частных. Всякое такое кольцо служит кольцом т. н. канонического нормирования для своего поля частных, группой значений канонического Н. является группа , где U-мультипликативная группа обратимых элементов кольца А, упорядоченная отношением делимости. Кольца Н. можно определить еще одним способом. Если — два локальных кольца с максимальными идеалами ти п соответственно, то говорят, что Вдоминирует А, если . Отношение доминирования является отношением частичного порядка на множестве подколец поля К. Максимальные элементы этого множества и только они являются кольцами Н. поля К. Если А- кольцо Н., а — кольцо с тем же полем частных, что и А, то В также кольцо Н. и Вявляется локализацией кольца Апо нек-рому простому идеалу. Примеры нормирований. 1) поля, определяемое формулой: наз. несобственным, или тривиальным, Н. Таково любое Н. конечного поля. Ему соответствует точка (тождественное отображение К).2) Пусть k — нек-рое поле и — поле формальных степенных рядов над k. Сопоставление ряду его порядка п(а нулевому ряду ) продолжается до Н. с группой значений (аддитивная группа целых чисел) и кольцом Н. . Ассоциированная точка сопоставляет ряду свободный член . Н. со значениями в группе наз. дискретным; о их кольцах Н. см. Дискретного нормирования кольцо. Описание всех Н. поля рациональных чисел см. в [4]. Для любой линейно упорядоченной абелевой группы Г существует Н. некоторого поля, группа значений к-рого изоморфна Г. Идеалы колец нормирования. Множество идеалов кольца Н. линейно упорядочено относительно включения, любой идеал конечного типа- главный, т. е. кольцо Н. является Везу кольцом. Более полно описание строения идеалов кольца Н. можно дать в терминах группы значений Н. Подмножество Млинейно упорядоченного множества наз. мажорным (или м. Связь нормирования и топологии. Пусть Н. поля Kи где Совокупность всех , образует фундаментальную систему окрестностей нуля топологии поля К, называемой топологией, определяемо й нормированием V. Топология отделима и несвязна. Топология, индуцируемая на кольце А, как правило, отлична от топологии локального кольца. Для нетривиального Н. поля Ктопология локально компактна тогда и только тогда, когда Н. vдискретно, кольцо Н. полное, а поле вычетов Н. vконечно; кольцо Апри этом будет компактно. Пополнение поля Котносительно топологии является полем; Н. vпродолжается по непрерывности до Н.и топология совпадает с . Кольцо нормирования vявляется пополнением кольца Анормирования v. Нормирования и поля Кназ. независимым и, если топологии и различны; это эквивалентно тому, что кольца нормирований и . порождают поле К. Неэквивалентные нормирования высоты 1 всегда независимы. Имеет место теорема аппроксимации для нормирований: пусть — независимые нормирования, тогда найдется такой элемент хполя К, что для всех . Продолжения нормирований. Если — Н. поля L, а К- подполе L, то ограничение нормирования на поле Кявляется Н. поля К, а его группа значений Г — подгруппой группы наз. при этом продолжением Н. v. Обратно, если v- Н., a L расширение поля К, то всегда существует Н. поля L, продолжающее v. Индекс подгруппы Г в группе наз. индексом ветвления Н. относительно vи обозначается Поле вычетов нормирования vотождествляется с подполем поля вычетов степень расширения обозначается и наз. степенью вычетов Н. относительно v. Продолжение нормирования vназ. непосредственным, если Пусть L — расширение поля — множество всех продолжений Н. v на L. Если L — конечное расширение поля Кстепени п, то множество всех продолжений vконечно, и В ряде случаев это неравенство можно заменить на равенство, напр, когда дискретно и либо Кполно, либо Lсепарабельно над К. Если L- нормальное расширение К, то продолжения на Lпереводятся друг в друга K-автоморфизмами L, в частности если L- радикальное расширение К, то имеет единственное продолжение. В случае произвольного бесконечного расширения или продолжения нормирования vстепень трансцендентности Lнад Кбольше или равна сумме где — степень трансцендентности расширения поля вычетов над полем вычетов — размерность пространства Понятие "Н." ввел и изучил В. Крулль [1]. Это понятие широко используется также в алгебраич. геометрии. Так, в терминах "колец Н." строится абстрактная риманова поверхность поля (см. [3]). Лит.:[1] Krull W., "J. reine und angew. Math.", 1932, Bd 167, S. 160-96; [2] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [3]3арисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963; [4] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973. В. И. Данилов.