Нормальный Оператор

Замкнутый линейный оператор А, определенный на плотном в гильбертовом пространстве H линейном многообразии DA, такой, что , где — оператор, сопряженный с А. Если А- Н. о., то Обратно, выполнение этих условий обеспечивает нормальность А. Если А-Н. о., то: также нормален; — Н. о. при любых нормален в случае, когда этот оператор существует, если где В- ограниченный линейный оператор, то также Для Н. о. Аимеют место:1) мультипликативное разложение где U- унитарный оператор, однозначно определяемый на ортогональном дополнении подпространства нулей операторов и ;2) аддитивное разложение где — однозначно определяемые самосопряженные операторы, перестановочные между собой. Из аддитивного разложения следует, что для упорядоченной пары существует единственная двумерная спектральная функция , где — двумерный интервал такая, что Из этого разложения следует также, что Н. о. Аявляется функцией нек-рого самосопряженного оператора Обратно, всякая функция любого самосопряженного оператора есть Н. о. Важным свойством Н. о. является равенство из к-рого следует, что спектральный радиус Н. о. Асовпадает с его нормой . Собственные элементы Н. о., соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Лит.:[1] Плеснер А. И., Спектральная теория линейных операторов, М., 1965; [2] Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975. В. И. Соболев.