Номография

Раздел математики, в к-ром изучаются способы графич. представления функциональных зависимостей. Получающиеся при этом чертежи наз. номограммами. Каждая номограмма строится для определенной функциональной зависимости в заданных пределах изменения переменных. На номограммах вычислительная работа заменяется выполнением простейших геометрич. операций, указанных в ключе пользования номограммой, и считыванием ответов. Точность получения ответов по номограммам зависит от вида номографированной зависимости, пределов изменения переменных, размеров чертежа и выбранного типа номограммы. В среднем номограммы могут обеспечить получение ответов с 2-3 верными значащими цифрами. Когда точность номограмм недостаточна, их можно использовать для прикидочных расчетов, для нахождения нулевых приближений, для контроля вычислений с целью обнаружения грубых ошибок. Номограммы можно применять и для исследования функциональных зависимостей, положенных в их основу. Часто такое исследование выполняется на номограммах значительно проще и нагляднее, чем иными способами. С помощью номограмм можно исследовать влияние различных переменных на искомую переменную, дать наглядную геометрич. интерпретацию каким-либо ранее известным свойствам данной зависимости, установить ранее неизвестные ее особенности. Номографические методы исследования можно, напр., применять в задачах на подбор параметров эмпирпч. формул по результатам наблюдений, на аппроксимацию одной функции другой, на нахождение экстремальных значений функции. Значения переменных изображаются на номограммах помеченными точками и помеченными линиями. Множество помеченных точек, зависящее от одной переменной, наз. шкалой. Уравнения шкалы переменной в прямоугольной системе координат записываются в виде где и — функции и . Схема шкалы приведена на рис. 1. Множество помеченных точек, зависящее от двух переменных, наз. бинарным полем. Бинарное ноле обычно оформляется в виде сетки, состоящей из двух семейств помеченных линий. Точка в бинарном поле определяется как точка пересечения линий с заданными пометками. В системе прямоугольных координат бинарное поле переменныхи задается уравнениями где и — функции . Предполагается, что функции и таковы, что в заданной области изменения переменных каждой паре значений a1 и a2 отвечает только одна пара значений x и y, Схема бинарного поля (a1, a2) приведена на рис. 2. Шкалы, семейства помеченных линий и бинарные поля в номограммах оформляются так, чтобы было удобно находить точки и линии с заданными пометками и определять пометки ответных точек и линий. Элементарными номограммами наз. номограммы, в к-рых ответ или ответы находятся в результате выполнения одной геометрич. операции (определение точке на шкале или в бинарном поле; проведение прямой через две точкп; построение окружности по известному центру и радиусу; деление отрезка в заданном отношении; проведение прямой, параллельной данной; откладывание отрезка, длина к-рого равна длине данного отрезка; построение параллелограмма по трем его известным вершинам; наложение одной плоскости на другую). К элементарным номограммам относятся: график функции; сдвоенная шкала; сетчатая; из выравненных точек; из равноудаленных точек; циркульная; с параллельным индексом; барицентрическая; ромбоидальная, с ориентированным транспарантом и с транспарантом общего вида. На рис. 3 приведена элементарная номограмма пз выравненных точек для определения величины хиз уравнения применяющегося при термическом расчете вентиляторныхпротивоточных градирен. Номограмма построена в пределах: Переменные аи bпредставлены на номограмме шкалами; переменные си х — бинарным полем. На номограмме показано решение числового примера (дано: а=0,75; b=7; с=10; ответ: х=0,1). Элементарные номограммы имеют простое геометрич. обоснование: номографич. интерпретация условия расположения трех точек на одной прямой приводит к номограмме из выравненных точек; формулы расстояния между двумя точками — к номограмме из равноудаленных точек и к циркульной; формул для координат точкп, делящей отрезок в заданном отношении,- к барицентрич. номограмме; условия параллельности двух прямых — к номограмме с параллельным индексом; формул, определяющих координаты четвертой вер-шпны параллелограмма по трем его заданным вершинам,- к ромбоидальной номограмме; формул преобразования прямоугольных координат без поворота и с поворотом осей — к номограммам на двух плоскостях (с ориентированным транспарантом п с транспарантом общего вида). Каждому виду элементарной номограммы соответствует своя канонич. форма зависимости, к-рую можно изобразить номограммой. Нек-рые канонич. формы допускают построение элементарных номограмм различного типа. Наиболее общая канонич. форма, представимая элементарной номограммой из выравненных точек, имеет вид Соответствующая номограмма состоит из трех бинарных полей связанных одним выравниванием. Ниже приведены часто встречающиеся на практике канонич. формы для отдельных уравнений и систем уравнений, представимые номограммами того или иного типа. Канонич. формы для отдельных уравнений: а) с тремя переменными: канонич. формы для систем уравнений: Составными номограммами наз. номограммы, состоящие из элементарных номограмм одного или разных типов. Введение составных номограмм значительно расширяет класс номографируемых зависимостей. Сводку канонич. форм, представимых элементарными и составными номограммами, см. в [3]. [4]. Всегда номографируемы зависимости с тремя переменными. Зависимости с четырьмя и большим числом переменных допускают построение номограмм лишь в частных случаях. Для расширения круга номографируемых зависимостей применяют приближенное номографирование. Оно основано на замене с нек-рой допустимой погрешностью данной зависимости номографируемой. На рис. 4 приведена приближенная номограмма из равноудаленных точек для определения величин и (пли Qи ) из системы уравнений: применяющейся при гидравлич. расчете прямоугольных лотков. Эта система для возможности номографирования была приближенно заменена системой: с относительной погрешностью в величинах Qи v, не превышающей . Штриховая окружность на номограмме соответствует решению числового примера (дано: ответы: и ). В нек-рых случаях методы приближенного номографирования дают возможность представлять номограммами таблицы с несколькими входами. Для номографирования данной зависимости ее приводят точно или приближенно к номографируемому виду и записывают уравнения элементов номограммы в прямоугольной системе координат. Входящие в эти уравнения параметры преобразования (а иногда и произвольные функции) подбирают так, чтобы придать номограмме удобный для пользования вид. Далее рассчитывают таблицы координат отдельных элементов номограммы, а затем вычерчивают номограмму. Получила развитие машинная номография (см. [4]): разработаны системы процедур и стандартных программ для автоматич. расчета и построения элементов номограмм с помощью ЭВМ и графопостроителя, а также стандартные программы для автоматич. конструирования, расчета и вычерчивания номограмм различных типов. Основными проблемами теоретич. Н. являются проблемы представимости и единственности. Суть первой проблемы состоит в том, чтобы выяснить, можно ли заданное уравнение или систему уравнений привести к той или иной канонич. форме, и если возможно, то указать алгоритм такого приведения. Получены решения этой проблемы для нек-рых канонич. форм. Они сложны и на практике не применяются. Суть второй проблемы заключается в том, чтобы выяснить, единственным ли способом приводится данная зависимость к канонич. форме, и если не единственным, то указать все возможные способы и установить возможности преобразования номограмм в каждом из них. Лит.:[1] Пентковский М. В., , М.-Л., 1949; [2] Невский Б. А., Справочная книга по номографии, М.-Л., 1951; [3] Хованский Г. С, Основы номографии, М., 1976; [4] его же, и ее возможности. М., 1977. Г. С. Хованский.