Неванлинны — Пика Проблема

Проблема для класса аналитич. функций в области Gкомплексной плоскости (или, более общо, римановой поверхности), заключающаяся в нахождении условий, необходимых и достаточных для разрешимости в классе функций интерполяционной задачи где — подмножество точек области — нек-рое множество комплексных чисел, а a, как правило, пробегает счетное (иногда конечное или даже несчетное) множество индексов. Классич. результат Г. Пика [1] и Р. Неванлинны [2] (соответственно для конечных и счетных подмножеств ) дает решение Н.-П. п., напр., для класса B1 аналитич. функций в единичном круге, ограниченных по модулю единицей, в виде условия неотрицательности квадратичных форм Первоначальное доказательство этого, а также вполне аналогичных и сводящихся к нему результатов для ряда других классов функций (см. [3]) проводилось алгебраическими и теоретико-функциональными методами. Более поздние доказательства, основывающиеся, напр., на сведении Н.-П. п. к нек-рой проблеме моментов (см. [4]) или же полученные с точки зрения теории гильбертовых пространств (см. [5]), позволили охватить случай несчетных подмножеств и наметить пути возможных обобщений. Естественным развитием Н. — П. п., потребовавшим привлечения функционально-аналитич. методов исследования, явился вопрос о разрешимости интерполяционной задачи (1) на классе Wправых частей ; в этом случае, как правило,является счетным множеством (последовательностью) точек области G, а в качестве Wвыступают различные пространства последовательностей комплексных чисел. Применительно к классу ограниченных аналитич. ций в единичном круге и пространству ограниченных последовательностей полное описание соответствующих последовательностей точек (т. н. универсальные интерполяционные последовательности) было получено (см. [6]) в виде условия Этот результат сыграл важную роль в описании структуры пространства максимальных идеалов алгебры Н°° (см. [7]) и одновременно явился отправным моментом для многочисленных исследований Н.-П. п. (в указанной обобщенной постановке) для классов Харди и пространств (включая весовые пространства). Оказалось, что при решение Н.- П. п. не зависит от Ри дается условием (2), а при необходимо меняется при изменении qи р(см. [8]). Другое обобщение Н.- П. п. связано с интерполяционной задачей , где — нек-рая система функционалов в классе . Возникающую при этом задачу описания множества можно рассматривать также как обобщение известной коэффициентов проблемы для классов аналитич. ций. Лит.:[1] Pick G., "Math. Ann.", 1916, Bd 77, S. 7-23; [2] Nevanlinna R.. "Ann. Acad. sci. (enn. Ser. A", 1929, v. 32, № 7, p. 1 — 15; [3] Крейн М. Г., Нудельман А. А., Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи, М., 1973; [4] Крейн М. Г., Рехтман П. Г., "Тр. Одесского гос. ун-та", 1938, т. 2, с. 63-68; [5] Sz — Nagу В., Когаnуi A., "Acta math. Acad. sci. hung.", 1956, v. 7. p. 295-303; [6] Сarlesоn L., "Airier. J. Math.", 1958, v. 80, № 4, p. 921 — 30; [7] eго жe, "Ann. Math.", 1962, v. 76, p. 547-59; [8] Шведенко С. В., "Матем. заметки", 1977, т. 21, № 4, с. 503-08. С. В. Шведенко.