Нётера — Энрикеса Теорема

О канонических кривых — теорема о проективной нормальности канонической кривой и об определяемости ее квадратичными уравнениями. Пусть — гладкая канонич. кривая (негиперэллиптическая) рода над алгебраически замкнутым полем ки — однородный идеал в кольце k[ х п, ..., xg-1], определяющий Xв Р g-1. Теорема Нётера — Энрикеса (наз. иногда также теоремой Нётера — Энрикеса — Петри) утверждает, что:1) Xпроективно нормальна в ;2) если , то X- плоская кривая степени 4, а если , то градуированный идеал порождается компонентами степени 2 и 3 (и это означает, что кривая Xявляется пересечением квадрик и кубик в через нее проходящих);3) идеал IX порождается компонентами степени 2 во всех случаях, кроме следующих: а) X- тригональная кривая, т. е. обладает линейным рядом (системой) размерности 1 и степени 3, б) X- кривая рода 6, изоморфная плоской кривой степени 5;4) в исключительных случаях а) и б) квадрики, проходящие через X, высекают поверхность F, являющуюся соответственно: а) неособой рациональной линейчатой поверхностью степени причем ряд на Xвысекается линейной системой прямых на F, а при g=4 — квадрикой в (возможно конусом), б) поверхностью Веронезе в . Эта теорема (в несколько иной, алгебраич. формулировке) была установлена М. Нётером [1]. Геометрич. изложение было дано Ф. Энрикесом (F. Enriques, о его результатах см. [2]; современное изложение в [3], [4], обобщение в [5]). Лит.:[1] Nother M., "Math. Ann.", 1880, Bd 17, S. 263-84; [2] Вabbage D. W., "J. London Math. Soc", 1939, v. 14, № 4, p. 310 — 14; [3] Saint — Dоnat В., "Math. Ann.", 1973, Bd 206, S. 157-75; [4] Шокуров В. В., "Матем. сб.", 1971, т. 86, № 3, с. 367-408; [5] Аrbarellо Е.., Sernesi E., "Invent, math.", 1978, v. 49, p. 99- 119. В. А. Псковских.