Несобственный Интеграл

Интеграл от неограниченной функции или от функции по неограниченному множеству. Пусть функция f определена на конечном или бесконечном полуинтервале , и для любого функция f интегрируема но Риману (по Лебегу) на отрезке Тогда предел (в случае условие понимается как ) наз. несобственным интегралом Если предел (1) существует, то говорят, что Н. и. сходится, если не существует — расходится. Напр., Н. и.при сходится, а при расходится. Если же , то сходится при и расходится при . Если и функция f интегрируема по Риману (по Лебегу) на отрезке [ а, b], то Н. и. (1) совпадает с определенным интегралом. Аналогично при соответствующих предположениях определяют Н. и. по промежутку Если функция/ интегрируема по Риману (по Лебегу) на каждом отрезке и существуют то Н. и. определяется как сумма и не зависит от выбора точки с. Если на интервале ( а, b )имеется конечное число точек : таких, что функция f интегрируема по Риману (по Лебегу) на каждом отрезке , не содержащем ни одной точки , и для каждого существуют Н. и. то Н. и. Это определение не зависит от выбора точек . На Н. и. переносятся общие свойства интегралов: линейность, аддитивность относительно промежутков, по к-рым производится интегрирование, правило интегрирования неравенств, теоремы о среднем, интегрирование по частям и замены переменного, формула Ньютона — Лейбница. Напр., если функция f почти всюду на [ а, b )совпадает с производной функции F, к-рая абсолютно непрерывна на каждом отрезке то Для выяснения сходимости Н. и. от знакопостоянных функций применяется признак сравнения: напр., для Н. и. вида (1) при выполнении условия из сходимости Н. и. следует сходимость Н. и. функция наз. в этом случае функцией сравнения. В качестве функции сравнения для интегралов (1) в случае конечного предела интегрирования bчасто используются функции ; для интегралов вида (2) в случае конечности предела интегрирования а- функции , при наличии одного или двух бесконечных пределов интегрирования — функции . Из признака сравнения следует, напр., если для неотрицательной функции f, определенной при , существует предел то при Н. и. вида (1) сходится, а при Н. и. расходится. Необходимое и достаточное условие сходимости Н. и. дает критерий Коши. Так, Н. и. вида (1) сходится тогда и только тогда, когда для любого существует такое что для всех выполняется неравенство — Н. Понятие Н. и. обобщается для функций многих переменных. Пусть функция f определена на открытом (ограниченном или неограниченном) множестве G n -мерного евклидова пространства и интегрируема по Риману на любом измеримом по Жордану множестве Функцию f наз. интегрируемой в несобственном смысле по множеству G, если для любой последовательности измеримых по Жордану множеств таких, что существует предел не зависящий от выбора указанной последовательности . Этот предел, если он существует, наз. Н. и. и, как в одномерном случае, говорят, что этот интеграл сходится. Он существует тогда и только тогда, когда существует интеграл В этом случае Н. и. совпадает с интегралом Лебега. Это обстоятельство связано с тем, что при n=1 и данном выше определении Н. и. переход к пределу осуществлялся по весьма специальному классу измеримых по Жордану множеств, а именно по отрезкам. В качестве же были взяты произвольные измеримые по Жордану множества. Впрочем, при сделанное утверждение остается в силе и в том случае, когда в качестве множеств взяты только измеримые по Жордану области. Таким образом, в этом случае понятие Н. и. не приводит к новому понятию по сравнению с интегралом Лебега. Для Н. и. от функции многих переменных справедлив признак сравнения, аналогичный одномерному случаю. В качестве интегралов сравнения берут где Первый сходится при и расходится при , второй сходится при и расходится при . К Н. и. относятся интегралы в смысле главного значения. Пусть функция f определена на открытом множестве , кроме, быть может, точки , и пусть для любого функция f интегрируема (по Риману или по Лебегу) на множестве есть -окрестность точки х. Тогда если существует предел то его наз. интегралом в смысле главного значения и обозначают Если интеграл существует как Н. и., то он существует и в смысле главного значения. Обратное, вообще говоря, неверно. Напр., Н. и. расходится, а Аналогично определяют интегралы в смысле главного значения в бесконечно удаленной точке. Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, т. 2, М., 1973; [2] Кудрявцев Л. Д., Курс математического анализа, т. 2, М., 1981; [3] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 2, М., 1975. Л. Д. Кудрявцев.