Неприводимый Модуль

Простой модуль,- ненулевой унитарный модуль Мнад кольцом Д с единицей, содержащий лишь два подмодуля — нулевой и сам М. Примеры: 1) если — кольцо целых чисел, то неприводимые R-модули — это абелевы группы простого порядка; 2) если R- тело, то неприводимые R-модули — это одномерные векторные пространства над R; 3) если D- тело, V- левое векторное пространство над D,- кольцо линейных преобразований пространства V-(или плотное подкольцо этого кольца), то правый R-модуль неприводим; 4) если G- группа, k- поле, то неприводимые представления группы Gнад k- это в точности Н. м. над групповой алгеброй kG. Правый R-модуль Мнеприводим тогда и только тогда, когда он изоморфен R/I, где I — нек-рый максимальный правый идеал в R. Если А, B- неприводимые Д-модули, то либо f=0, либо f — изоморфизм (откуда следует, что кольцо эндоморфизмов Н. м. является телом). Если же R — алгебра над алгебраически замкнутым полем k, А и В- Н. м. над R, то (лемма Шура) Понятие Н. м. является одним из основных в теории колец и теории представлений групп. С его помощью определяются композиционный ряд и цоколь модуля, Джекобсона радикал модуля и кольца, вполне приводимый модуль. Н. м. участвуют в определении ряда важных классов колец: классически полупростых колец, примитивных колец и др. Лит.:[1] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [2] Картис Ч., Райнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. сангл., М., 1969; [3]. Лам бек И., Кольца и модули, пер. с англ., М., 1971; [4] Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1-2, М., 1977-79. А. В. Михалев.