Нелинейная Краевая Задача

Численные методы решения — методы, заменяющие решение краевой задачи решением дискретной задачи (см. Линейная краевая задача;численные методы решения и Нелинейное уравнение;численные методы решения). Во многих случаях, особенно при рассмотрении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описание численных методов обычно проводится без указания дискретизации исходной задачи, но такая дискретизация неявно все же подразумевается и осуществляется по относительно известным образцам. Пусть, напр., рассматривается двухточечная краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений Пусть вектор таков, что система уравнений однозначно определяет вектор y=a(g). при каждом векторе напр., часто целесообразно взять Тогда задача (1), (2) может быть сведена к системе (операторному уравнению) где — значение при х=Х решения уравнения (1) при начальном условии . При этом для получения значений необходимо численно решать (см. [1], [2]) соответствующие системы дифференциальных уравнений, что и будет означать дискретизацию исходной задачи. Для решения системы (4) можно применять различные итерационные методы решения нелинейных уравнений. Найдя решение g* уравнения (4), можно определить вектор из системы (3) и, решая уравнение (1) при начальном условии у(0)=у*, получить решение задачи (1), (2). В ряде методов наряду со значениями функции используются и значения ее производной, отыскиваемые либо путем интегрирования уравнения (уравнения в вариациях для (1)), либо с помощью каких-либо формул численного дифференцирования. Указанный способ редукции краевой задачи к уравнению (4), наз. методом пристрелки, применим к задачам более общего вида явно содержащим векторный параметр g, в частности к задачам на собственные значения; здесь функция считается заданной. Однако если решения уравнения (5) сильно растут вместе с х, то погрешность численного интегрирования приводит к большим ошибкам в значениях функции и ее производной и в конечном счете к большой погрешности получаемого решения. В методе линеаризации (см., напр., [1], [3]) приближения к решению задачи (1), (2) определяются как решения последовательности линейных уравнений с линейными краевыми условиями где — квадратная функциональная матрица порядка l, В п и Dn- числовые матрицы размеров и , n=0, 1, .... Начальное приближение у п (х)считается известным. В случае метода Ньютона — Канторовича уравнения (6), (7) приобретают вид Если f(x,y), В (у), D (у)дважды непрерывно дифференцируемы по у, задачи (8), (9) корректны и у о (х)достаточно близко к искомому решению у(х), то где — постоянная,(см. [1]). Упомянутые методы обобщаются и на случай более общих условий вида где Многие важные теоретические и прикладные задачи приводят к необходимости решать Н. к. з. (и родственные к ним проблемы) для уравнений и систем уравнений эллиптич. типа (см., напр., [4] — [8]). Для такого класса задач основными численными методами являются проекционные методы (проекционно-разностные, вариационно-разностные, конечных элементов) и разностные методы (см. [7] — [14]). Их конструкции во многом аналогичны конструкциям соответствующих методов для линейных краевых задач (см. Лапласа уравнение;численные методы решения; Пуассона уравнение;численные методы решения), но получаемые в этих методах дискретные (сеточные) аналоги краевых задач, являющиеся системами нелинейных уравнений где часто вызывают дополнительные значительные трудности как в плане анализа самих систем и близости в том или ином смысле их решений к решению исходной задачи, так и в плане затрат вычислительной работы на формирование самих систем (10) и отыскание их решений. Специфика нелинейности краевой задачи заставляет особое внимание уделять выбору банаховых пространств и их сеточных аналогов, в к-рых и сама задача и ее конечномерные аппроксимации поддаются анализу (см., напр., [5] — [12], [15]). Но наиболее подробно изучены особенно в алгоритмич. плане лишь численные методы для классов нелинейных задач, родственных в нек-ром смысле линейным задачам (слабонелинейные уравнения, уравнения с ограниченной нелинейностью) и позволяющих обойтись использованием гильбертовых пространств и их конечномерных аналогов (евклидовых пространств). Пусть — евклидово пространство вектор-функций со скалярным произведением — пространство линейных самосопряженных положительно определенных операторов, отображающих H в Н;наряду с Нбудет использоваться и евклидово пространство , , отличающееся от Нлишь видом скалярного произведения: Пусть, далее, Если оператор непрерывен на и таков, что для любого ис справедливо неравенство то система (10) имеет по крайней мере одно решение из .Это утверждение (см., напр., [8], [9]) является одним из следствий классич. теорем существования решений у нелинейных операторных уравнений, основанных на топологич. принципах (см., напр., [14]) и на монотонности операторов (см., напр., [6], [11], [14]). В частности, если непрерывен всюду и для любого и, то система (10) всегда имеет решение и любое ее решение принадлежит Если же для любых справедливы неравенства означающие сильную монотонность и Липшиц-непрерывность оператора LN, то система (10) и ее единственное решение может быть найдено с помощью итерационного метода где п итерационный параметр определяется константами типа и , получаемыми при замене в (13) и (14) оператора Вна А(см., напр., [8], [9]). Поэтому для разностных методов оценки погрешности получаются как следствие корректности системы (10) и наличия аппроксимации исходной краевой задачи разностной краевой задачей (10). Часто весьма целесообразен такой выбор оператора В, что пространство становится дискретным (сеточным) аналогом соответствующего пространства Соболева (напр., для уравнений 2-го порядка) и тем самым делается возможным использование или самих теорем вложения (в случае проекционных аппроксимаций), или их сеточных аналогов (см., напр., [5] — [9]) для проверки неравенств типа (12) — (14). Проекционные методы и, в частности, проекционно-разностные (вариационно-разностные) методы обладают тем достоинством, что неравенства (12) — (14) следуют из соответствующих неравенств для дифференциальных операторов, а задача оценки погрешности метода легко сводится к задаче аппроксимации решения исходной задачи элементами выбранного конечномерного подпространства (см. [6] — [9], [11]). Вместо справедливости неравенств (13), (14) во всем пространстве достаточно их справедливости, напр., в нек-ром шаре из Н B , окружающем искомое решение. Иногда полезны неравенства, получаемые из (12) — (14) заменой скалярных произведений в левых частях на скалярные произведения в Н B , а норм в правых частях на . Для ряда задач на основе априорных оценок их решения возможна замена их эквивалентными краевыми задачами, для к-рых неравенства типа (12) — (14) будут выполнены (см. [15]). При выполнении неравенств (13), (14) итерационный метод (15) с сходится при любом начальном приближении, и если константы и не зависят от N, то он позволяет получить решение системы (10) с точностью за итераций (обычно ). За счет удачной конструкции сеточного метода иногда удается так выбрать оператор В, что решение системы (10) с точностью .при помощи итерационного метода типа (15) осуществляется при затрате лишь или даже O(NIn N)арифметич. действий (см. Минимизация вычислительной работы). Использование последовательности сгущающихся сеток позволяет довести эти оценки до O(NIn N)и O(N)действий и тем самым получить асимптотически оптимальные по трудоемкости численные методы решения нек-рых нелинейных эллиптических краевых задач. При этом предполагалось, что само вычисление невязки требует не больше KN действий. Все же для нек-рых задач (при больших К)целесообразно уменьшить частоту таких вычислений. Этого можно добиться за счет нахождения более точного начального приближения, использования той или иной линеаризации LN и методов типа продолжения по параметру (см. Нелинейное уравнение;численные методы решения). Чаще же всего линеаризации метода в сочетании с методами продолжения по параметру используются в наиболее трудных ситуациях, когда, напр., условие (13) может не выполняться. К нелинейным краевым задачам эллиптич. типа могут быть отнесены и нек-рые задачи на собственные значения (см., напр., [8], [12], [14]); конструкция соответствующих численных методов во многом аналогична уже упомянутым. Нек-рые стационарные краевые задачи могут быть приближенно заменены краевыми задачами для сильно эллиптич. систем с малым параметром (см., напр., [17]). Численные же методы для нестационарных Н. к. з., включающих в себя задачи для уравнений и систем параболич. типа, гинерболич. типа, смешанного типа и др., хотя и используют дискретные аналоги эллиптич. операторов, подобные выше рассмотренным, но для них наиболее характерно расслоение приближенного метода по отдельным временным слоям. Лит.:[1] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975; [2] Шаманский В. Е., Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ, ч. 2, К., 1966; [3] Беллмав Р., Калаба Р., Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи, пер. с англ., М., 1968; [4] Березовский А. А., Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики, 2 изд., ч.1, К., 1976; [5]Лады женская О. А.,Уральцева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, М., 1964; [б] Лионе Ж.-Л., Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, пер. с франц., М., 1972; [7] Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р., Численное исследование вариационных неравенств, пер. с франц., М., 1979; [8] Дьяконов Е. Г., в кн.: Численные методы механики сплошной среды, т. 7, в. 5, Новосиб., 1976, с. 14-78; [9] его же, в кн.; Разностные методы решения краевых задач, в. I — Стационарные задачи, М., 1971; [10] Карчевский М. М., Ляшко А. Д., Разностные схемы для нелинейных задач математической физики, ч. 1, Казань, 1976; [11] Варга Р., Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе, пер. с англ., М., 1974; [12] Стренг Г., Фикс Д ж.. Теория метода конечных элементов, пер. с англ., М., 1977; [13] О ден Д ж., Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред, пер. с англ., М., 1976; [14] Красносельский М. А. [и др.], Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [15] Ривкинд В. Я., Уральцева Н. Н., в кн.: Проблемы математического анализа, в. 3, Л., 1972, с. 69-111; [16] Амосов А. А., Бахвалов Н. С, Осипик Ю. И., "Ж. вычисл. матем. и матем. физики", 1980, т. 20, № 1, с. 104-11; [17] Соболевский П. Е., Васильев В. В., в кн.: Численные методы механики сплошной среды, т. 9, в. 5, Новосиб., 1978, с. 115 — 39. Е. Г. Дьяконов, А. Ф. Шапкин.