Некорректные Задачи

Точнее — некорректно поставленные задачи,- задачи, для к-рых не удовлетворяется хотя бы одно из приводимых ниже условий, характеризующих корректно поставленные задачи [короче — корректные задачи (к. з.)]. Задача определения решения из метрич. пространства Z(с расстоянием ( , )) по "исходным данным"из метрич. пространства U(с расстоянием ( , ) ) наз. корректно поставленной на паре пространств (Z, U), если: а) для всякого существует решение ; б) решение определяется однозначно; в) задача устойчива на пространствах , что означает: для всякого существует такое что для любых из неравенства следует неравенство Понятие к. з. принадлежит Ж. Адамару (J. Hadamard, 1923), высказавшему точку зрения, что всякая математич. задача, соответствующая какой-либо физич. или технич. задаче, должна быть корректной. В самом деле, какую физич. интерпретацию может иметь решение, если как угодно малым изменениям исходных данных могут соответствовать большие изменения решения? К таким задачам затруднительно применять приближенные методы решения. Это поставило под сомнение целесообразность изучения Н. з. Однако такая точка зрения, естественная в применении к нек-рым явлениям, развивающимся во времени, не может быть перенесена на все задачи. В самом деле, неустойчивыми в метрике С, а следовательно и Н. з., являются задачи: решения интегральных уравнений 1-го рода; дифференцирования функций, известных приближенно; численного суммирования рядов Фурье, когда их коэффициенты известны приближенно в метрике ; задача Коши для уравнения Лапласа; задача аналитич. родолжения функций; обратные задачи гравиметрии. Некорректными являются также задачи решения систем линейных алгебраич. уравнений в условиях равного нулю определителя системы (а также плохо обусловленные системы); минимизации функционалов, имеющих несходящиеся минимизирующие последовательности; нек-рые задачи линейного программирования и оптимального управления; проектирования оптимальных систем, конструкций (синтез антенн и других физич. систем); задачи об управлении объектами, описываемые дифференциальными уравнениями (в частности, дифференциальные игры). К перечисленным задачам приводят самые различные физич. и технич. проблемы (см. [7]). К Н. з. относится широкий класс т. н. обратных задач, возникающих в физике, технике и других отраслях знаний, в частности — задачи обработки результатов физич. экспериментов. Пусть z — количественная характеристика изучаемого явления (объекта). В физич. эксперименте часто величина z недоступна непосредственному измерению, а измеряется нек-рое ее проявление . Для интерпретации результатов измерений необходимо определять z по и, т. е. решать уравнение вида Задачи решения уравнений (1) часто наз. задачами распознавания образов. Задачи, приводящие к задачам минимизации функционалов (задачи синтеза антенн и других систем и конструкций, задачи оптимального управления и многие др.), наз. также задачами синтеза. Пусть в задаче обработки результатов физич. экспериментов изучаемый объект (явление) характеризуется элементом z (функцией, вектором), принадлежащим множеству возможных решений Zметрич. пространства Пусть недоступен для прямого измерения и измеряется его проявление — образ Zпри его отображении с помощью оператора А. Очевидно, где — оператор, обратный оператору А. Так как элемент получают путем измерений, то он бывает известен лишь приближенно. Пусть — это приближенное значение. В этих условиях речь может идти лишь о нахождении приближенного (к zT) "решения" уравнения Оператор во многих случаях таков, что обратный ему оператор не является непрерывным, напр. когда — вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространстве, в частности интегральный оператор вида В этих условиях нельзя, следуя классич. концепциям, брать в качестве приближенного к "решения" точное решение уравнения (2), т. о. элемент так как: а) такого решения может не существовать на Z, поскольку и ~ может не принадлежать множеству AZ;б) такое решение, если даже оно существует, не будет обладать свойством устойчивости к малым изменениям (поскольку обратный оператор не является непрерывным) и, следовательно, не может быть физически интерпретируемым. Задача (2) является Н. з. Численные методы решения некорректных задач. Для Н. з. вида (1) возникает вопрос: что понимается под приближенным решением таких задач? При этом необходимо так определить приближенное решение, чтобы оно было устойчивым к малым изменениям исходной информации. Второй вопрос: каковы алгоритмы построения таких решений. Исчерпывающие ответы на эти основные вопросы впервые даны А. Н. Тихоновым (см. [1], [2]). Метод подбора. В нек-рых случаях приближенные решения уравнений (1) находятся методом подбора. Он состоит в том, что из класса возможных решений подбирают элемент для к-рого приближает правую часть уравнения (1) с требуемой точностью. В качестве искомого приближенного решения берут элемент Возникает вопрос: когда этот метод применим, т. е. когда из неравенства следует, что где при . Это имеет место при условии однозначной разрешимости уравнения (1) и при условии" что множество М- компакт (см. [3]). На основе этих соображений сформулировано понятие корректности по Тихонову, наз. также условной корректностью (см. [4]). В применении к уравнению (1) задача наз. корректной по Тихонову, если известно, что для точного значения правой части существует единственное решение уравнения (1), принадлежащее заданному компакту М. В этом случае непрерывен на множестве М, и если вместо элемента известен элемент такой, что и , то в качестве приближенного решения уравнения (1) с правой частью можно брать элемент При будет стремиться к . Во многих случаях приближенно известная правая часть не принадлежит множеству AM. В этих условиях уравнение (1) не имеет классич. решения. В качестве приближенного решения берется обобщенное решение, называемое квазирешением (см. [5]). Элемент минимизирующий при данном в функционал на множестве М, наз. квазирешением уравнения (1) на М(см. [6]). Если М — компакт, то ква-знрешение существует для любого и если, кроме того,то квазирешение совпадает с классическим (точным) решением уравнения (1). Существование квазирешения гарантируется лишь при условии компактности множества возможных решений М. Метод регуляризации. Для ряда прикладных задач, приводящих к уравнению (1), характерна ситуация, когда множество возможных решений Zне является компактом, оператор не является непрерывным на AZ и изменения правой части уравнения (1), связанные с ее приближенным характером, могут выводить ее за пределы множества AZ. Такие задачи наз. существенно некорректными задачами. Разработан подход к решению Н. з., позволяющий строить с помощью ЭВМ приближенные решения существенно Н. з. вида (1), устойчивые к малым изменениям исходных данных. К исходным данным задач вида (1) относится как правая часть и, так и оператор А. В дальнейшем для простоты изложения предполагается, как правило, что оператор Аизвестен точно. В основе подхода лежит понятие регуляризирующего оператора (см. [2], [7]). Оператор из в наз. регуляризирующим оператором для уравнения (в окрестности ), если он обладает свойствами: 1) существует такое >0, что оператор определен для всякого ",и любого такого, что 2) для всякого существует такое, что из неравенства rU(ud ,uT)<=d<=d0 следует неравенство Иногда удобнее пользоваться другим определением регуляризирующего оператора, в к-ром содержится приведенное определение. Оператор из в , зависящий от параметра , наз. регуляризирующим оператором для уравнения (в окрестности ), если он обладает свойствами: 1) существует такое число что оператор определен для всякого и любого для к-рого 2) существует такая функция от , , что для любого найдется число такое, что если В этом определении не предполагается однозначность оператора Если то в качестве приближенного решения уравнения (1) с приближенно известной правой частью можно брать элемент полученный с помощью регуляризирующего оператора где согласовано с погрешностью исходных данных (см. [1], [2], [7]). Это решение наз. регуляризованным решением уравнения (1). Числовой параметр наз. параметром регуляризации. При регулярпзированное приближенное решение стремится (в метрике Z)к точному решению Таким образом, задача нахождения приближенных решений уравнения (1), устойчивых к малым изменениям правой части, сводится: а) к нахождению регуляризирующего оператора; б) к определению параметра регуляризации по дополнительной информации о задаче, напр, по величине погрешности, с к-рой задается правая часть и. Построение регуляризирующих операторов. Предполагается, что уравнение имеет единственное решение . Пусть вместо уравнения решается уравнение, причем . Так как то приближенное решение уравнения . ищется в классе элементов таких, что . Множество есть множество возможных решений. В качестве приближенного решения нельзя брать произвольный элемент zd из , т. к. такое "решение" не единственно и оно не будет, вообще говоря, непрерывным по . В качестве принципа отбора возможных решений, обеспечивающего получение такого элемента (или элементов) из , к-рый непрерывно зависел бы от и при стремился бы к , используется т. н. вариационный принцип (см. [1]). Пусть — непрерывный неотрицательный функционал, определенный на всюду плотном на Zподмножестве множества Zи такой, что: а); б) для всякого d>0 множество элементов z из Fu для к-рых является компактным на F. Функционалы обладающие такими св-вами, наз. стабилизирующими функционалами для задачи (1). Пусть — стабилизирующий функционал, определенный на подмножестве множества Z(может совпадать с Z). Среди элементов множества ищется такой (такие), к-рый минимизирует функционал на . Доказывается существование такого элемента (см. [7]). Его можно рассматривать как результат применения нек-рого оператора к правой части уравнения , то есть . Оператор является регулярнзирующим для уравнения (1). Фактич. отыскание элемента zd , можно осуществлять следующим образом: при незначительных дополнительных ограничениях на (при условии квазимонотонности, см. [7]) доказывается, что достигается на элементах для к-рых Элемент является решением задачи на минимум функционала при условии т. е. решением задачи на условный экстремум, к-рую можно решать методом неопределенных множителей Лагранжа и сводящейся к минимизации функционала При любом доказывается существование элемента , минимизирующего Параметр определяется из условия Если существует такое что то исходная вариационная задача эквивалентна задаче минимизации функционала к-рая может быть решена различными способами на ЭВМ (напр., путем решения соответствующего уравнения Эйлера для ). Элемент , минимизирующий функционал , можно рассматривать как результат применения к правой части уравнения нек-рого оператора зависящего от параметра , т. е., в к-ром определяется по невязке из соотношения Оператор является регуляризирующим оператором для уравнения (1). Эквивалентность исходной вариационной задачи на нахождение минимума функционала имеет место, напр., для линейных операторов А. Для нелинейных операторов Аэто может быть и не так (см. [8]). Функционал наз. сглаживающим функционалом, можно ввести в рассмотрение формально, не связывая его с задачей на условный экстремум функционала , и искать элемент , минимизирующий его на множестве . При этом возникает задача нахождения параметра регуляризации a. как такой функции от , для к-рой оператор определяющий элемент был бы регуляризирующим для уравнения (1). При определенных условиях (напр., если известно, что и A — линейный оператор) такая функция существует и может быть найдена из соотношения Возможны и другие способы нахождения . Пусть — класс неотрицательных неубывающих и непрерывных на отрезке функций; есть решение уравнения (1) с правой частью и A — непрерывный оператор из Z в U. Тогда, каковы бы ни были положительное число . и функции из класса такие, что и существует такое что для и из неравенства следует неравенство где для всех удовлетворяющих неравенствам . Способы нахождения параметра регуляризации определяются характером имеющейся дополнительной информации о задаче. Если известна погрешность правой части уравнения т. е.то согласно предыдущему естественно определять по невязке, т. е. из соотношения Функция является монотонной и полунепрерывной справа и слева при каждом Если оператор Алинейный, Z — гильбертово пространство и — строго выпуклый функционал (напр., квадратичный), то элемент единственный и однозначная функция. В этих условиях для всякого положительного числа где существует такое, что (см. [7]). Для нелинейного оператора Ауравнение может не иметь решения (см. [8]). Метод регуляризации тесно связан с построением сплайнов. Так, напр., задача нахождения функции z(x)с кусочно непрерывной на производной 2-го порядка, минимизирующей функционал и принимающей заданные значения на сетке эквивалентна построению сплайна 2-го порядка. Регуляризирующий оператор можно строить с помощью интеграла по спектральной мере оператора (см. [7], [9]), для уравнений типа свертки — с помощью классич. интегральных преобразований (см. [10], [7]), методом квазиобращений (см. [11]), с помощью метода итераций (см. [12]). Указаны (см. [13]) необходимые и достаточные условия существования регуляризирующе-го оператора. Пусть приближенно задана не только правая часть уравнения (1), но и оператор А, таким образом вместо точных исходных данных имеются где В этих условиях процедура получения приближенного решения будет той же, только вместо функционала надо рассматривать функционал а параметр определять, напр., из соотношения (см. [7]): Если уравнение (1) имеет бесконечное множество решений, то вводится понятие нормального решения. Пусть пространство Z нормировано, тогда в качестве такового можно брать, напр., решение z-, норма уклонения к-рого от заданного элемента минимальна, т. е. Приближение к нормальному решению, устойчивое к малым изменениям исходных данных уравнения (1), находится описанным выше методом регуляризации. К числу таких задач с бесконечным числом решений относятся вырожденные системы линейных алгебраич. уравнений. Так наз. плохо обусловленные системы линейных алгебраич. уравнений можно рассматривать как системы, полученные из вырожденных путем замены оператора Аего приближением . В качестве нормального решения совместной вырожденной системы можно брать решение системы с минимальной нормой . В сглаживающем функционале в качестве можно брать функционал Приближенные решения плохо обусловленных систем также находятся методом регуляризации с (см. [7]). Аналогично решается задача нахождения решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода на спектре, т. е. в случае, когда параметр уравнения равен одному из собственных значений ядра. Неустойчивые задачи минимизации функционалов. Ряд практически важных задач приводится к задачам минимизации функционалов Различается два типа таких задач. К первому относятся те из них, в к-рых надо находить минимальное (или максимальное) значение функционала. К этому типу относятся многие задачи проектирования оптимальных систем, конструкций. Для этих задач несущественно, на каких элементах достигается искомый минимум. Поэтому в качестве приближенных решений таких задач можно брать значения функционала на любой минимизирующей последовательности Ко второму типу относятся задачи, в к-рых надо найти элементы z, на к-рых достигается минимум функционала Их называют задачами минимизации по аргументу. Среди них встречаются такие, в к-рых минимизирующие последовательности могут быть несходящимися. В этих задачах нельзя брать в качестве приближенных решений элементы минимизирующих последовательностей. Такие задачи наз. неустойчивыми, или некорректно поставленными. К ним относятся, напр., задачи оптимального управления, в к-рых оптимизируемый (целевой) функционал зависит только от фазовых переменных. Пусть на метрич. пространстве задан непрерывный функционал и существует элемент минимизирующий Минимизирующую последовательность функционала наз. регуляризованной, если существует компактное в множество содержащее Если задача минимизации функционала имеет единственное решение то регуляризованная минимизирующая последовательность сходится к z0, и в этих условиях для решения неустойчивой задачи минимизации функционала достаточно указать алгоритмы построения регуляризованных минимизирующих последовательностей. Это можно сделать путем использования стабилизирующих функционалов Пусть — стабилизирующий функционал, определенный на множестве Часто вместо имеется его -приближение по отношению к т. е. такой функционал, что для всякого : При любом задача минимизации функционала по аргументу устойчива. Пусть и — сходящиеся к нулю последовательности такие, что для всякого пи — последовательность элементов, минимизирующих функционалы Эта последовательность является регуляризованной минимизирующей последовательностью для функционала (см. [7]) и, следовательно, сходится к элементу при В качестве приближенных решений задачи можно брать элементы Аналогично строятся приближенные решения Н. з. оптимального управления. В прикладных Н. з. исходные данные часто содержат случайные погрешности. Для построения приближенных решений таких задач возможен как детерминированный, так и вероятностный подходы (см. [7], [15]). Лит.:[1] Тихонов А. Н., "Докл. АН СССР", 1963, т. 151, № 3, с. 501-04; [2] его же, там же, т. 153, № 1.с. 49- 52; [3] его же, там же, 1943, т. 39, № 5, с. 195-98; [4] Лаврентьев М. М.,О некоторых некорректных задачах математической физики, Новосиб., 1962; [5] Иванов В. К., "Матем. сб.", 1963, т. 61, № 2, с. 211-23; [6] его же, "Докл. АН СССР", 1962, т. 145, № 2, с. 270-72; [7] Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Методы решения некорректных задач, 2 изд., М., 1979; [8] Гончарский А. В., Леонов А. С, Ягола А. Г., "Докл. АН СССР", 1974, т. 214, № 3, с. 499- 500; [9] Бакушинский А. Б., "Ж. вычисл. матем. и матем. физики", 1967, т. 7, № 3, с. 672-77; [10] Арсенин В. Я., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1973, т. 133, с. 33-51; [11] Латтес Р., Лионе Ж.-Л., Метод квазиобращения и его приложения, пер. с франц., М., 1970; [12] Крянев А. В., "Докл. АН СССР", 1973, т. 210, № 1, с. 20 — 22; [13] Винокуров В. А., "Ж. вычислит, матем. и матем. физ.", 1971, т. 11 № 5, с. 1097-112; [14] Тихонов А. Н., там же, 1966, т. 6, № 4, с. 631-34; [15] Лаврентьев М. М., Васильев В, Г., "Сиб. матем. ж.", 1966; т. 7, № 3, с. 559-76. В. Я. Арсенин, А. Н. Тихонов.