Неевклидовы Геометрии

В буквальном понимании — все геометрич. системы, отличные от геометрии Евклида; однако обычно термин "Н. г." применяется лишь к геометрич. системам (отличным от геометрии Евклида), в к-рых определено движение фигур, причем с той же степенью свободы, что и в геометрии Евклида. Степень свободы движения фигур в евклидовой плоскости характеризуется тем, что каждая фигура без изменения расстояний между ее точками может быть перемещена так, чтобы любая выбранная ее точка заняла любое заранее назначенное положение; кроме того, каждая фигура может вращаться вокруг любой своей точки. В евклидовом трехмерном пространстве каждая фигура может быть перемещена так, чтобы любая выбранная ее точка заняла любое заранее назначенное положение; кроме того, каждая фигура может вращаться вокруг любой оси, проходящей через любую ее точку. Среди Н. г. особое значение имеют Лобачевского геометрия и Римана геометрия, к-рые чаще всего и подразумеваются, когда говорят о Н. г. Геометрия Лобачевского — первая геометрпч. система, отличная от геометрии Евклида, и первая более общая теория (включающая евклидову геометрию как предельный случай). Геометрия Римана, открытая позднее, в нек-рых отношениях противоположна геометрии Лобачевского, но вместе с тем служит ей необходимым дополнением. Совместное исследование геометрий Евклида, Лобачевского и Римана позволило в должной мере выяснить особенности каждой из них, а также их связи друг с другом и с другими геометрич. системами. Ниже обе Н. г. и геометрия Евклида сопоставляются как синтетич. теории, затем в плане дифференциальной геометрии и, наконец, в плане теории групп. как синтетические теории. Геометрия Лобачевского строится на основе тех же аксиом, что и евклидова, за исключением только одной аксиомы о параллельных. Именно, согласно аксиоме о параллельных евклидовой геометрии через точку, не лежащую на данной прямой а, проходит точно одна прямая, к-рая лежит в одной плоскости с прямой аи не пересекает эту прямую; в геометрии Лобачевского принимается, что таких прямых более одной (затем доказывается, что их бесконечно много). В геометрии Рпмана принимается аксиома: каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Эта аксиома противоречит системе аксиом евклидовой геометрии с исключением аксиомы о параллельных. Таким образом, система аксиом, лежащая в основе геометрии Римана, необходимо должна отличаться от системы аксиом евклидовой геометрии не только заменой одной аксиомы о параллельных другим утверждением, но и части остальных аксиом. Различными в этих геометриях являются аксиомы, к-рые служат для обоснования т. н. отношений порядка геометрия, элементов. Сущность дела в следующем: в евклидовой геометрии и в геометрии Лобачевского порядок точек на прямой является линейным, т. е. подобным порядку во множестве действительных чисел; в геометрии Римана порядок точек на прямой является циклическим, т. е. подобным порядку во множестве точек окружности. Кроме того, в геометриях Евклида и Лобачевского каждая прямая, лежащая в данной плоскости, разделяет эту плоскость на две части; в геометрии Римана прямая не разделяет плоскость на две части, т. е. любые две точки плоскости, не лежащие на данной прямой, можно соединить в этой плоскости непрерывной дугой, не пересекая данную прямую (топологич. моделью плоскости Римана служит проективная плоскость). Требования аксиом, определяющих движение фигур, для всех трех геометрий одинаковы. Примеры теорем Н. г,1) В геометрии Лобачевского сумма внутренних углов любого треугольника меньше двух прямых; в геометрии Римана эта сумма больше двух прямых (в евклидовой геометрии она равна двум прямым).2) В геометрии Лобачевского площадь треугольника выражается формулой где — внутренние углы треугольника, R- постоянная, к-рая определяется выбором единицы измерения площадей. В геометрии Римана имеет место формула при аналогичном значении символов (в евклидовой геометрии зависимости между площадью треугольника и суммой его углов нет).3) В геометрии Лобачевского между сторонами и углами треугольника существует ряд зависимостей, напр.: где sh, ch — гиперболические синус и косинус,- стороны треугольника,- противолежащие им углы, R- постоянная, определяемая выбором масштаба; для прямоугольного треугольника (с гипотенузой си прямым углом ) имеет место, напр., равенство При нек-ром согласовании линейного масштаба и единицы измерения площадей постоянная Rв формулах (1), (3), (4) будет одинаковой. Число Rназ. радиусом кривизны плоскости (или пространства) Лобачевского. Число Rпри данном масштабе выражает определенный отрезок в плоскости (пространстве) Лобачевского, к-рый также называют радиусом кривизны. Если масштаб меняется, то меняется число R, но радиус кривизны, как отрезок, остается неизменным. Если радиус кривизны принять за масштабный отрезок, то R=1. В геометрии Римана существуют сходные равенства: (для произвольного треугольника) и (для прямоугольного) при аналогичном значении символов. Число Rназ. радиусом кривизны плоскости (или пространств а) Римана. Как видно из формул (4) и (6), в каждой из Н. г. гипотенуза прямоугольного треугольника определяется его углами; более того, в Н. г. стороны любого треугольника определяются его углами, т. е. не существует подобных треугольников, кроме равных (в евклидовой геометрии нет формул, аналогичных формулам (4) и (6), и нет никаких других формул, выражающих линейные величины через угловые). При замене R на iR формулы (1), (3), (4) превращаются в формулы (2), (5), (6); вообще, при замене Rна iR все метрич. формулы геометрии Лобачевского (сохраняющие при этой замене геометрич. смысл) переходят в соответствующие формулы геометрии Римана. При и те и другие дают в пределе формулы евклидовой геометрии (либо теряют смысл). Стремление к бесконечности величины Rозначает, что масштабный отрезок является бесконечно малым по сравнению с радиусом кривизны (как с отрезком). То обстоятельство, что при этом формулы Н. г. переходят в пределе в формулы евклидовой геометрии, означает, что для малых (по сравнению с радиусом кривизны) неевклидовых фигур соотношения между их элементами мало отличаются от евклидовых. в плане дифференциальной геометрии. В каждой из Н. г. дифференциальные свойства плоскости аналогичны дифференциальным свойствам поверхностей евклидова пространства; именно: в неевклидовой плоскости могут быть введены внутренние координаты и, v так, что дифференциал ds дуги кривой, соответствующей дифференциалам координат, определяется равенством: Пусть, в частности, в качестве координаты ипроизвольной точки Мберется длина перпендикуляра, опущенного из Мна фиксированную прямую, а в качестве координаты v- расстояние от фиксированной точки Оэтой прямой до основания указанного перпендикуляра; величины и, v следует брать со знаком, подобно обычным декартовым координатам. Тогда формула (7) для плоскости Лобачевского будет иметь вид а для плоскости РиманаR — та же постоянная, к-рая входит в формулы предыдущего раздела (радиус кривизны). Правые части (8) и (9) суть метрич. формы поверхностей евклидова пространства, имеющих соответственно постоянную отрицательную кривизну (как, напр., псевдосфера) и постоянную положительную кривизну (как, напр., сфера). Поэтому внутренняя геометрия достаточно малой части плоскости Лобачевского совпадает с внутренней геометрией на соответствующей части поверхности постоянной отрицательной кривизны. Аналогично, внутренняя геометрия достаточно малых частей плоскости Римана реализуется на поверхностях постоянной положительной кривизны (поверхностей, к-рые реализуют геометрию всей плоскости Лобачевского, в евклидовом пространстве нет). При замене Rна iR метрическая форма (8) переходит в метрическую форму (9). Так как метрич. форма определяет внутреннюю геометрию поверхности, то при такой замене и другие метрич. соотношения геометрии Лобачевского переходят в метрич. соотношения. Трехмерные неевклидовы пространства по своим дифференциальным свойствам относятся к числу ри-мановых пространств в широком смысле и выделяются среди них прежде всего тем, что имеют постоянную ри-манову кривизну. Как в двумерном, так и в трехмерном случае постоянство кривизны обеспечивает однородность пространства, т. е. возможность движения фигур в нем, причем с той же степенью свободы, как (соответственно) на евклидовой плоскости или в евклидовом пространстве. Пространство Лобачевского имеет отрицательную кривизну, равную пространство Римана — положительную кривизну, равную (R- радиус кривизны). Евклидово пространство занимает промежуточное положение и является пространством нулевой кривизны. Пространства постоянной римановой кривизны могут иметь весьма разнообразное строение в смысле топологии. Среди всех пространств постоянной отрицательной кривизны пространство Лобачевского однозначно выделяется двумя своими свойствами: оно полно (в смысле полноты метрич. пространства) и топологически эквивалентно обычному евклидову пространству. Пространство Римана среди всех пространств положительной кривизны однозначно выделяется свойством топологич. эквивалентности проективному пространству. Аналогичными условиями выделяются многомерные пространства Лобачевского и Римана среди многомерных пространств постоянной римановой кривизны. в плане теории групп. Пусть на проективной плоскости введены проективные однородные координаты и задана нек-рая овальная линия 2-го порядка, обозначаемая дальше буквой k, напр. Каждое проективное отображение проективной плоскости на себя, к-рое оставляет на месте линию k, наз. автоморфизмом относительно к. Каждый автоморфизм отображает внутренние точки линии ктакже во внутренние ее точки. Множество всех автоморфизмов относительно линии ксоставляет группу. Условимся рассматривать только точки проективной плоскости, лежащие внутри k;хорды линии кбудем называть "прямыми". Две фигуры будем считать равными, если одна из них переводится в другую нек-рым автоморфизмом. Так как автоморфизмы составляют группу, то имеют место основные свойства равенства фигур: 1) если фигура Аравна фигуре В, то Вравна А;2) если фигура Аравна фигуре В, а В равна фигуре С, то Аравна С. В получаемой таким образом геометрической теории будут соблюдены требования всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельных; вместо этой последней аксиомы соблюдается аксиома о параллельных Лобачевского (см. рис., где показано, что через точку Рпроходит бесконечно много "прямых", не пересекающих "прямой" а). Тем самым получается истолкование (двумерной) геометрии Лобачевского при помощи проективной плоскости или, как говорят, проективная модель геометрии Лобачевского; линия кназ. абсолютом этой модели. Автоморфизмы относительно киграют роль движений. Поэтому геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию, изучающую свойства фигур и связанные с фигурами величины, к-рые остаются неизменными при автоморфизмах; короче говоря, геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию инвариантов группы автоморфизмов относительно овального абсолюта. Геометрия Римана (двумерная) допускает сходное истолкование; именно, она является теорией инвариантов относительно нулевого абсолюта При этом в качестве точек и прямых модели берутся все точки и прямые проективной плоскости, автоморфизмы определяются чисто алгебраически, как линейные преобразования, к-рые переводят уравнение (10) в уравнение того же вида. Евклидову геометрию также можно рассматривать как теорию инвариантов нек-рой группы проективных преобразований, именно, группы автоморфизмов относительно вырожденного абсолюта т. е. относительно мнимых точек (1, i, 0), (1, -i,0); эти точки наз. круговыми точками. Предметом модели являются все точки проективной плоскости, кроме точек прямой и все прямые проективной плоскости, кроме прямой . В последнем случае автоморфизмы играют роль подобных преобразований, а не движений, как в случае Н. г. Рассмотренные модели относятся к двумерным геометриям; проективные модели высших размерностей строятся аналогично. Соответственно характеру уравнений абсолютов геометрия Лобачевского наз. гиперболической, геометрия Римана — эллиптической, геометрия Евклида — параболической. Лит.:[1] Александров П. С, Что такое неэвклидова геометрия, М., 1950; [2] Клейн Ф., Неевклидова геометрия, пер. с нем., М.- Л., 1936; [3] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978. Н. В. Ефимов.