Неявная Функция

Функция заданная уравнением — нек-рые множества, т. е. такая функция f, что при любом имеет место . Если — топологич. пространства и для нек-рой точки выполняется условие то при определенных условиях в нек-рой окрестности точки уравнение однозначно разрешимо относительно одной из переменных. Свойства решения этого уравнения описываются теоремами о Н. ф. Простейшая теорема о Н. ф. состоит в следующем. Пусть Xи Y — подмножества числовой прямой , — внутренняя точка множества на плоскости; тогда если функция Fнепрерывна в нек-рой окрестности точки и существуют такие что при любом фиксированном функция как функция переменного устрого монотонна на интервале , то найдется такое , что существует и притом единственная функция такая, что для всех причем функция f(х)непрерывна и . Условия этой теоремы выполняются, если функция непрерывна в окрестности точки , существует частная производная Fy , непрерывная в точке , Если, кроме того, существует и частная производная , также непрерывная в точке то Н. ф. f дифференцируема в точке x0 , причем Эта теорема обобщается на случай системы уравнений, т. е. когда Fявляется векторной функцией. Пусть и суть и мерные евклидовы пространства с фиксированными системами координат, точки к-рых соответственно Пусть Fотображает нек-рую окрестность Wточки в пространство и , — координатные функции (от n+m переменных отображения F, т. е.. Если отображение Fдифференцируемо на а якобиан то существуют окрестности Uи Vточек х 0 и у 0 соответственно в пространствах и единственное отображение такие, что для всех выполняется условие . При этом отображение f дифференцируемо на U, а если то явное выражение для частных производных находится из системы т. линейных относительно этих производных уравненийk=1, 2, ..., т, i фиксировано (i=l, 2, ..., п). Иногда основное утверждение теоремы формулируется следующим образом: существуют окрестности Uи W0 точек х 0 и в пространствах и единственное отображение такие, что для всех выполняются условия , . Иначе говоря, условия равносильны условиям В этом случае говорят, что уравнение F(x, y)=0 однозначно разрешимо в окрестности W0 точки ( х 0 , у 0 ). Сформулированная класcич. теорема о Н. ф. обобщается на случай более общих пространств следующим образом. Пусть X — топологич. пространство, Y и Z- аффинные нормированные пространства над полем действительных или комплексных чисел, т. е. аффинные пространства над указанными полями, к-рым сопоставлены соответственно нормированные векторные пространства причем — полное пространство, — множество линейных непрерывных отображений пространства в пространство — открытое множество в произведении пространств и Пусть — непрерывное отображение в Если при каждом фиксированном хи отображение Fимеет частную Фреше произ водную, причем является непрерывным отображением а линейное отображение имеет непрерывное обратное линейное отооражение (т. е. является обратимым элементом пространства ), то существуют такие открытые соответственно в пространствах Xи Y множества что для любого существует и притом единственный элемент , обозначаемый и удовлетворяющий условиям: При этом так определенная функция является непрерывным отображением Uв Vи . Если Xтакже является аффинным нормированным пространством, то при определенных условиях Н. ф. удовлетворяющая уравнению также дифференцируема. Именно, пусть X, Y, Z- аффинные нормированные пространства, W- открытое множество из и пусть f — неявное отображение, задаваемое уравнением (1) и отображающее нек-рую окрестность Uточки х 0 в открытое подмножество Vпространства Таким образом, для всех имеет место Пусть, кроме того, отображение f непрерывно в точке х 0 и . Тогда если отображение Fдифференцируемо в точке и его частные производные Фреше и являются линейными непрерывными операторами, отображающими соответственно векторные пространства , сопоставленные аффинным пространствам Xи Y, в векторное пространство , сопоставленпое аффинному пространству Z, причем оператор Fy(x0 , y0 )является обратимым элементом пространства , то отображение f дифференцируемо в точке х 0 и его производная Фреше задается формулой Эта формула получается в результате формального дифференцирования функции (2): и умножения слева этого равенства на . Если, кроме того, отображение непрерывно дифференцируемо на W, Н. ф.непрерывна на и для любого частная производная Фреше Fy(x, f(x))является обратимым элементом пространства ., то отображение f — непрерывно дифференцируемое отображение Uв V. Можно указать и в общем случае условия существования и единственности Н. ф. в терминах непрерывности производной Фреше: если пространство Zполно, отображение непрерывно дифференцируемо на и частная производная Фреше Fy(x0, y0) является обратимым элементом пространства , то уравнение (1) однозначно разрешимо в достаточно малой окрестности точки ( х 0, у 0), т. е. существуют окрестности Uи Vточек х 0 и у 0 соответственно в пространствах Xи Y, и единственная Н. ф. удовлетворяющая условиям (2). При этом отображение f непрерывно дифференцируемо на U. В таком виде теорема о Н. ф. для нормированных пространств представляет собой прямое обобщение соответствующей классич. теоремы о Н. ф. для одного скалярного уравнения с двумя переменными. Если, кроме того, функция непрерывно дифференцируема в окрестности Wточки раз (k=1, 2, ...), то Н. ф.также краз непрерывно дифференцируема. Более далекие обобщения классич. теоремы о Н. ф. на случай дифференциальных операторов даны Дж. Нэшем (J. Nash) (см. Наша теорема). Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функции и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [2] Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1905; [3] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1-2, М., 1975; [4] Шварц Л., Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972; [5] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971. Л. Д. Кудрявцев.