Мультипликативный Интеграл

Предел произведений вида где — непрерывная на отрезке функция со значениями в пространстве ограниченных операторов в банаховом пространстве — разбиение отрезка точками Предел берется, когда диаметр разбиения и обозначается Если операторы коммутируют при различных t, то М. и. является удобной формой представления эволюционного оператора для дифференциального уравнения (см. [1]). При этом Произведение, пределом к-рого является последний М; и., также является эволюционным оператором для уравнения с кусочно постоянным оператором при Если и — две непрерывные оператор-функции, то справедлива формула где знак над произведением означает, что множители с меньшими номерами пишутся правее множителей с большими. Формулы (1), (2) допускают обобщения на нек-рые классы дифференциальных уравнений с неограниченными оператор-функциями, откуда получаются представления решений дифференциальных уравнений с частными производными параболического и шрёдингерова типов в виде интегралов по траекториям (континуальных интегралов) (см. [2]). Формулы типа (2) лежат также в основе нек-рых численных методов решения уравнений. Если — скалярная непрерывная функция, а операторнозначная непрерывная функция ограниченной вариации, то существует предел наз. мультипликативным интегралом Стилтьеса. Эти интегралы нашли применение в теории J-нерастягивающих матриц и операторов (см. [3], [4]). Лит.:[1] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М., 1970; [2] Далецкий Ю. Л., "Успехи матем. наук", 1962, т. 17, в. 5, с. 3-115; [3] Потапов В. П., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1955, т. 4, с. 125-236; [4] Гинзбург Ю. П., "Матем. исследования", (Киш.), 1967, т. 2, № 2, с. 52-83. С. Г. Крейн.