Мультипликативная Решетка

Полная решетка с дополнительной бинарной коммутативной и ассоциативной операцией, наз. умножением (и обозначаемой ), такой, что наибольший элемент решетки играет роль мультипликативной единицы и для любых и произвольного множества индексов . Теория М. р. возникла как результат применения теоретико-структурных методов к изучению решеток идеалов коммутативных колец (см. [2]), и поэтому большинство понятий и результатов имеет аналоги (или приложения) в коммутативных кольцах (см. [1]). Пусть L- М. р. и а,, тогда Элемент наз. -главным (соответственно -главным), если (соответственно для любых -главный и -главный одновременно элемент наз. главным. Нётеровой решеткой наз. модулярная и удовлетворяющая условию обрыва возрастающих цепей М. р., в к-рой каждый элемент является объединением нек-рых главных элементов. Полная решетка Мназ. модулем над мультипликативной решеткой , если для любых , определено произведение , причем (здесь — наибольший элемент в и — нули решеток Lи Мсоответственно). Наиболее изученный класс М. р.- нётеровы решетки. Здесь можно выделить следующие направления. 1) Вопросы представления нётеровой решетки как решетки идеалов подходящего нётерова кольца (известно, что решетка идеалов любого нётерова кольца — нётерова, однако существуют нётеровы решетки, к-рые не могут быть даже вложены в решетку идеалов нётерова кольца [3]). 2) Изучение нётеровых модулей над М. р. 3) Изучение понятий и свойств, к-рые переносятся на нётеровы решетки из теории идеалов нётеровых колец (понятия простого и примарного элементов, размерности, собственного максимального элемента, полулокальной и локальной решетки). Описаны [4] дистрибутивные регулярные локальные нётеровы М. р. Построена теория локализации и ассоциированных простых элементов для гораздо более широкого, чем нётеровы, класса М. р., включающего в себя решетки идеалов произвольных коммутативных колец. Лит.:[1] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [2] Dilwоrth R. P., "Pacific J. Math.", 1962, v. 12, p. 481-98; [3] Воgаrt K., "Proc. Amer. Math. Soc", 1969, v. 22, № 1, p. 129-33; [4] eго же, "Mich. Math. J.", 1968, v. 15, № 2, p. 167-76; 1969, v. 16, № 3, p. 215-23; [5] Фофанова Т. С, в сб.: Упорядоченные множества и решетки, в. 3, Саратов, 1976, с. 22-40. Т. С. Фофанова.