Морса — Смейла Система

Динамическая — гладкий потокили каскад (порожденный диффеоморфизмом S, к-рый в этом случае наз. диффеоморфизмом Морса — Смейла) на компактном (обычно замкнутом) дифференцируемом m-мерном многообразии , имеющий следующие свойства.1) Система имеет конечное число периодич. траекторий (включая сюда в случае каскада и неподвижные точки) и (в случае потока) положений равновесия.2) Каждая траектория из перечисленных в 1) обладает локальной грубостью (обычно в определении фигурируют эквивалентные этому свойства соответствующих линеаризованных систем). Это гарантирует существование у траектории устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий и (если траектория устойчива или вполне неустойчива, то считается, что , соответственно , сводится к ней самой); размерность наз. ее индексом. Индекс обобщает понятие Морса индекса невырожденной критической (стационарной) точки гладкой функции , ибо последний совпадает с индексом w0 как положения равновесия градиентной динамической системы где градиент берется по отношению к какой-нибудь ри-мановой метрике на М.3) Инвариантные многообразия траекторий из перечисленных в 1) пересекаются трансверсально (т. е. если то касательные пространства )4)Все остальные траектории приили при стремятся к траекториям из перечисленных в 1).5) Если Мимеет край, то нужны еще нек-рые условия о поведении системы вблизи края. Для потоков (до сих пор в этом случае только они и рассматривались) обычно требуют, чтобы вектор фазовой скорости был всюду трансверсален к краю. М.- С. с. являются грубыми системами [1]. Именно в связи с изучением последних впервые рассматривались частные случаи М.- С. с.- потоки в плоских областях (см. более позднее подробное изложение в [2]) и каскады на окружности (см. [4] — [6]). В общем случае М.- С. с. введены С. Смейлом [7], ограничившимся тогда М. — С. с. на замкнутом М, для к-рых были доказаны следующие неравенства Морса — Смейла. Пусть для каскада — число периодич. точек индекса , а в случае потока — сумма числа положений равновесия индекса и числа периодич. траекторий индексов и ; тогда при где есть i-e Бетти число многообразия М(если среди введенных в 2), имеются неориентируемые, то числа Бетти надо брать над полем характеристики два). При неравенство (2) обращается в равенство. Неравенства (2) обобщают обычные Морса неравенства для гладкой функции с невырожденными критич. точками. Именно, неравенства Морса можно получить применением (2) к системе (1) (к-рая, правда, не обязательно является М.- С. с, так что требуется небольшое дополнительное рассуждение, см. [7],[8]). Исследовался вопрос, когда в данном классе изотопии диффеоморфизмов существует диффеоморфизм Морса — Смейла (см. [9], [10]), а для с нулевой эйлеровой характеристикой — и аналогичный вопрос о гомотопич. классе неособых векторных полей (здесь при ответ всегда положительный, см. [11]). Для потоков при (см. [12], [13]) и нек-рых специальных типов потоков при (см. [14], [15]) выяснено, какие топологич. инварианты определяют топологич. эквивалентность двух М.- С. с. [В двумерном случае этот вопрос решен для более широкого класса потоков (см. [3], [16]), а случай тривиален.] Лит.:[1] Пэйлис Д ж., Смейл С, "Математика", 1969, т. 13, № 2, с. 145-55; [2] Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г., Теория бифуркаций динамических систем на плоскости, М., 1967; [3] их же, Качественная теория динамических систем второго порядка, М., 1966; [4] Майер А. Г., "Уч. зап. Горьк. гос. ун-та", 1939, в. 12, с. 215-29: [5] Плисе В. А., "Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем.", 1960, № 13, в. 3, с. 15-23; [6] Арнольд В. И., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1961, т. 25, № 1, с. 21-86; 1964, т. 28, № 2, с. 479-480; [7] Смейл С, "Математика", 1967, т. 11, № 4, с. 79-87; [8] Smale S., "Ann. Math.", 1961, v. 74, № 1, p. 199-206; [9] IIIуб М., в кн.: Гладкие динамические системы, М., 1977, с. 118-39; [10] Шуб М., Сулливан Д., там же, с. 140-180; [11] Asimov D., "Ann. Math.", 1975, v. 102, №1, p. 55-65; [12] Peixоtо M., "C. r. Acad. sci.", 1971, t. 272, № 3, p. A 262- 265; [13] eго же, в кн.: Dynamical systems, N. Y.-L., 1973, p. 389-419; [14] Уманский Я. Л., "Докл. АН СССР", 1976, т. 230, № 6, с. 1286-89; [15] Пилюгин С. Ю., "Дифференциальные уравнения", 1978, т. 14, № 2, с. 245-54; [16] Neumann D., O'Brien Th., "J. differentia] equations", 1976, v. 22, № 1, p. 89-110. Д. В. Аносов.