Морса Перестройка

Хирургия,- преобразование гладких многообразий, к-рому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку;важнейшая конструкция в топологии многообразий. Пусть V- гладкое п- мерное многообразие (без края), в к-рое (гладко) вложена -мерная сфера Предположим, что нормальное расслоение сферы в многообразии тривиально, т. е. что замкнутая трубчатая окрестность сферы в разлагается в прямое произведение — диск размерности . Выбрав такое разложение, вырежем из Vвнутренность окрестности Т. Получится многообразие, край к-рого разложен в произведение сфер. Но точно такой же край имеет многообразие Отождествив края многообразий по диффеоморфизму, сохраняющему структуру прямого произведения Xснова получим многообразие без края, к-рое и наз. результатом перестройки Морса многообразия Vвдоль сферы . Для осуществления М. п. необходимо задать разложение окрестности Тсферы в прямое произведение, т. е. тривиализацию нормального расслоения сферы в многообразии V, при этом разные тривиализации (оснащения) могут давать существенно различные (даже гомотопически) многообразия . Число наз. индексом М. п., а пара ее типом. Если получается из VМ. п. типа (, ), то Vполучается из М. п. типа . При многообразие является дизъюнктным объединением многообразия V(к-рое может быть в этом случае пустым) и сферы . Конструкция М. п. может быть проведена также для кусочно линейных и топологич. многообразий. Пример. При в результате М. п. получается дизъюнктное объединение двух сфер, а при — тор. При получается произведение .Случай сложнее: если сфера вложена в стандартным образом (большая окружность), то в зависимости от выбора ее тривиализации нормального расслоения получаются всевозможные линзовые пространства;если же допустить заузливание сферы S1, то получается еще больший набор трехмерных многообразий. Если Vявляется краем -мерного многообразия М, то будет краем многообразия , полученного из Мприклеиванием ручки индекса . В частности, если f — гладкая функция на многообразии — такие числа, что множество компактно и содержит единственную критич. точку р, к-рая невырождена, то многообразие получается из многообразия М. п. индекса , где — Морса индекс критич. точки р. Более общим образом, любая перестройка многообразия индекса определяет нек-рый бордизм (получающийся из произведения приклеиванием ручки индекса к его "правому краю"), и на триаде существует Морса функция, обладающая единственной критич. точкой индекса , причем любой бордизм (; ), на к-ром существует такого рода функция Морса, получается этим способом. Отсюда (и из существования на триадах функций Морса) следует, что два многообразия тогда и только тогда бордантны, когда одно из них получается из другого конечной последовательностью М. п. При известных предосторожностях в обращении с ориентациями результат М. п. ориентированного многообразия будет снова ориентированным многообразием. Вообще, для любой структурной серии (см. -структуры )можно определить понятие перестройки Морса; при этом два многообразия тогда и только тогда -бордантны, когда они связаны друг с другом конечной последовательностью М. п. Важная роль М. п. в топологии многообразий объясняется тем, что они позволяют "деликатно" (не нарушая тех или иных свойств многообразия) уничтожать "лишние" гомотопич. группы (обычно используемая с этой целью в теории гомотопий операция "приклеивания клетки" мгновенно выводит из класса многообразий). Практически все теоремы классификации структур на многообразиях основываются на изучении вопроса, когда для отображения замкнутого многообразия Мв клеточное пространство Xсуществуют такой бордизм и такое отображение что является гомотопич. эквивалентностью. Естественный путь решения этой задачи состоит в том, чтобы последовательностью М. п. уничтожить ядра гомоморфизмов (где — гомотопич. группы). Если это удается, то результирующее отображение будет гомотопич. эквивалентностью. Изучение соответствующих препятствий (лежащих в т. н. группах Уолла, см. [4]) явилось одним из главнейших стимулов в развитии алгебраической К-теории. Лит.:[1] Моrse M., The calculus of variations in the large, N. Y., 1934; [2] Новиков С. П., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1964, т. 28, ДV 2, с 365-474; [3] Kervaire M. А., Milnor J. W., "Ann. Math.", 1963, v. 77, p. 504-37; [4] Мищенко А. С, "Успехи матем. наук", 1076, т. 31, в. 2, с. "9 — 134. М. М. Постников, Ю. Б. Рудяк.