Морса Неравенства

Вытекающие из теории , связывающие число критических точек функции Морса на многообразии с его гомологич. инвариантами. Пусть f — Морса функция на гладком n-мерном многообразии (без края) М, имеющая конечное число критич. точек. Тогда гомологии группыконечно порождены и потому определены их ранги и периодич. ранги (периодический ранг абелевой группы Ас конечным числом образующих — минимальное число циклич. групп, в прямую сумму к-рых может быть разложена максимальная периодич. подгруппа группы А). М. н. связывают число критич. точек функции , имеющих Морса индекс, с этими рангами, и имеют вид: При последнее М. н. всегда является равенством, так что где — эйлерова характеристика многообразия М. М. н. имеют место и для функций Морса триад достаточно заменить группы группами относительных гомологии . Согласно М. н. многообразие, имеющее "большие" группы гомологии, не допускает функций Морса с малым числом критич. точек. Замечательно, что даваемые М. н. оценки точны: на замкнутом односвязном многообразии размерности существует функция Морса, для к-рой М. н. являются равенствами (Смейла теорема, см. [2]). В частности, на любом замкнутом многообразии, гомотопически эквивалентном сфере , существует функция Морса с двумя критич. точками, откуда непосредственно следует (см. Морса теория), что многообразие Мгомеоморфно сфере (см. Пуанкаре гипотеза). Аналогичное применение теоремы Смейла позволяет доказать и теоремы об h- и s-кобордизмах. Аналоги М. н. имеют место также для функций Морса на бесконечномерных гильбертовых многообразиях и связывают (для любых регулярных значений функции f) числа лежащих в критич. точек конечного индекса с рангом и периодич. рангом группы где . Именно, При достаточно больших последнее неравенство становится равенством. Лит.:[l] Morse M., The calculus of variations in the large, N. Y., 1934; [2] Смейл С, "Математика", 1964, т. 8, № 4, с. 95-108. М. М. Постников, Ю. В. Рудяк.