Морса Лемма

Утверждение, описывающее строение ростка дважды непрерывно дифференцируемой функции. Пусть — функция класса , имеющая точку своей невырожденной критиче ской точкой. Тогда в нек-рой окрестности Uточки Осуществует такая система локальных координат (карта)с центром в О, что для всех имеет место равенство При этом число является Морса индексом критич. точки Офункции f. Справедлив также аналог М. л. для функций именно: если f голоморфна в нек-рой окрестности своей невырожденной критич. точки (в другой терминологии — точки перевала, см. Перевала метод), то в нек-рой окрестности Uточки Осуществует такая система локальных координат что М. л. справедлива и для функций на сепарабельном (бесконечномерном) гильбертовом пространстве Е. Пусть f дважды дифференцируема (по Фреше) в нек-рой окрестности своей невырожденной критич. точки . Тогда существуют такая выпуклая окрестность нуля , такая окрестность нуля и такой диффеоморфизм (карта)что для всех имеет место равенство где — непрерывный ортогональный проектор, а I — тождественный оператор. При этом размерность совпадает с индексом Морса критич. точки функции , а размерность — с ее коиндексом. Лит.:[1] Моrse M., The calculus of variations in the large, N. Y., 1934. M. M. Постников, Ю. Б. Рудяк.