Морса Индекс

Число, сопоставляемое критической точке гладкой функции на многообразии или геодезической на римановом (или финслеровом) многообразии.1) М. и. критической точки ргладкой функции f на многообразии Мравен, по определению, отрицательному индексу инерции гессиана функции f в точке р, т. е. размерности максимального из подпространств касательного пространства многообразия Мв точке р, на к-ром гессиан отрицательно определен. Это определение имеет смысл и для дважды дифференцируемой (по Фреше) функции на бесконечномерном банаховом многообразии. Отличие состоит лишь в том, что для индекса допускается значение . В этом случае целесообразно ввести понятие коиндекса критич. точки рфункции f как положительного индекса инерции гессиана (2-го дифференциала Фреше) функции f в точке р.2) Пусть — два гладких подмногообразия полного риманова пространства М. Для кусочно гладкого пути трансверсального к на своих концах , аналогом касательного пространства является векторное пространство всех таких кусочно гладких векторных полей Wвдоль , что Для любой геодезической с ортогональной в своих концах и к Vo и V1 соответственно, 2-я вариация функционала действия (см. Морса теория )определяет симметричный билинейный функционал на (аналог гессиана). М. и. геодезической равен, по определению, отрицательному индексу инерации этого функционала. Нулевое пространство гессиана на (множество , для к-рого для всех ) в точности состоит из Якоби полей. При геодезическая наз. -вырожденной, и наз. степенью вырождения геодезической. Геометрич. интерпретация М. и. в общем случае весьма тяжеловесна и, по-видимому (1982), не окончательна [2]. Поэтому здесь рассматривается случай, когда является точкой . Пусть — нормальное расслоение к многообразию в многообразии М, а — его слой над точкой . Сужение экспоненциального отображения определяет отображение . Геодезическая тогда и только тогда -вырождена, когда ядро дифференциала отображения ехр в точке отлично от нуля; при этом размерность этого ядра равна степени вырождения геодезической . Точка наз. фокальной точкой многообразия Vвдоль геодезической , если геодезическая вырождена; степень вырождения геодезической наз. кратностью фокальной точки s. По Сарда теореме множество фокальных точек имеет меру нуль, так что типичная геодезическая невырождена. Если V тоже состоит из одной точки (случай не исключается), то фокальная точка наз. сопряженной с рвдоль геодезической Теорема Морса об индексе [1] утверждает, что М. и. геодезической конечен и равен числу сосчитанных с учетом кратности фокальных точек многообразия V, 0<t<1. Лит.:[1] Моrse M., The calculus of variations in the large, N. Y., 1934; [2] Ambrose W., "Ann. Math.", 1961, v. 73, p. 49-86. M. M. Постников, Ю. Б. Рудяк.