Моментов Метод

Метод определения распределения вероятностей по его моментам. В теоретич. отношении М. м. основан на единственности решения моментов проблемы:если — нек-рые постоянные, то при каких условиях существует единственное распределение такое, что суть моменты распределения при всех и? Существуют различные типы условий, достаточных для того, чтобы распределение однозначно определялось своими моментами, напр, условие Карлемана Использование М. м. при доказательстве предельных теорем теории вероятностей и математич. статистики основано на соответствии между сходимостью распределений и моментов: если — последовательность функций распределения с конечными моментами любого порядка и при и каждом , то — моменты нек-рой функции распределения F(х);если F(х)однозначно определяется своими моментами, то при Fn(x)слабо сходится к F(x). Впервые М. м:для случая сходимости к нормальному распределению был разработан П. Л. Чебышевым (1887), а доказательство центральной предельной теоремы М. м. было осуществлено А. А. Марковым (1898). М. м. в математич. статистике — один из общих методов нахождения статистич. оценок для неизвестных параметров распределения вероятностей по результатам наблюдений. Впервые в этих целях М. м. был использован К. Пирсоном (К. Pearson, 1894) при решении задачи аппроксимации эмпирич. распределений с помощью системы распределений Пирсона. Процедура М. м. такова: определяются моменты эмпирич. распределения (выборочные моменты) и в количестве, равном числу оцениваемых параметров, приравниваются к соответствующим моментам распределения вероятностей, являющимся функциями от неизвестных параметров; полученная система уравнений решается относительно параметров, и полученные решения суть искомые оценки. На практике М. м. приводит, часто к весьма простым вычислениям. При нек-рых довольно общих условиях М. м. позволяет найти оценки, к-рые асимптотически нормальны, имеют ма-тематич. ожидание, лишь величиной порядка отличающееся от истинного значения параметра, и стандартное отклонение — порядка Однако оценки, найденные по М. м., не являются наилучшими из возможных с точки зрения их эффективности — их дисперсия не является минимальной. В случае нор х мального распределения М. м. приводит к оценкам, совпадающим с оценками максимального правдоподобия метода, т. е. к асимптотически несмещенным и асимптотически эффективным оценкам. Лит.:[1] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [2] Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., [2 изд.], М., 1975; [3] Кендалл М., Стьюарт А., Теория распределений, пер. с англ., М., 1966. А. В. Прохоров.