Модуль
Числовая характеристика какого-либо математич. объекта. Обычно значение М.- неотрицательное действительное число — элемент , обладающий нек-рыми характеристич. свойствами, обусловленными свойствами множества рассматриваемых объектов. Понятие М. фигурирует в различных разделах математики, хотя иногда и под другими названиями — абсолютное значение, норма и т. п. Все они, в сущности, являются обобщениями понятия абсолютной величины действительного или комплексного числа (но термин М. обычно означает обобщение специального вида). При этом функция оказывается морфизмом нек-рой структуры в на одну из (алгебраических) структур в , среди к-рых важнейшие — это порядок, аддитивность и мультипликативность. При этом необходимо сохранение основных свойств абсолютной величины (см. ниже ) -)). В более абстрактных ситуациях вместо естественно использовать упорядоченные полукольца (такой концепции М. удовлетворяют, напр., мера, емкость, масса и т. д.). Наконец, термином М. обозначаются числовые характеристики и др. объектов: таковы, напр., модуль плоской области, модуль кольца, модули римановой поверхности, непрерывности модуль, гладкости модуль (и даже — М. в теории упругости (сжатия, сдвига)). Однако во всех таких случаях можно ввести величины, функционально зависящие от такого М. и более адекватно отражающие природу рассматриваемых объектов (напр., экстремальную длину вместо М. семейства кривых). Примеры. 1) М. элемента х полуупорядоченного пространства Р- число где — положительная (отрицательная) часть х. При этом, как и для действительных чисел,2) М. элемента хотделимого предгильбертова пространства H, в частности конечномерного векторного пространства,- число где < Х, Х> — скалярное произведение в H. Это — одна из норм в Н, и потому3) М. элемента хлокально компактного тела — число где m- мера Хаара на аддитивной группе К, S- измеримое множество в ней. При этом, как и для чисел из Обобщением этого понятия является модуль автоморфизма.4) М. эндоморфизма A векторного пространства V над полем К(частный случай М. автоморфизма) — число , оказывающееся равным просто означает М. элемента из Примера 3). Г. И. Войцеховский.