Моделей Теория

Раздел математической логики, изучающий математические модели. Начало М. т. относится к 30-м гг. 20 в., когда были доказаны следующие две основные теоремы. Теорема 1 (теорема Гёделя — Мальцева). Если каждая конечная подсовокупность совокупности Твысказываний языка 1-й ступени совместима, то совместна и вся совокупность Т(см. [1]). Теорема 2 (теорема Лёвенхейма — Сколема — Мальцева). Если совокупность высказываний языка 1-й ступени сигнатуры Wимеет бесконечную модель, то она имеет модель любой бесконечной мощности, не меньшей мощности сигнатуры W. Теорема 1, называемая теоремой компактности, получила широкое применение в алгебре. На основе этой теоремы А. И. Мальцев создал метод доказательства локальных теорем алгебры (см. Мальцева локальные теоремы). Пусть А- алгебраич. система сигнатуры — основное множество системы обозначает сигнатуру, получаемую из добавлением символов выделенных элементов для всех , а обозначает алгебраич. систему сигнатуры , к-рая является обогащением алгебраич. системы Aи в к-рой для каждого символ интерпретируется элементом а. Множество всех замкнутых формул сигнатуры языка 1-й ступени, истинных в системе , наз. описанием алгебраической системы А, а множество D(А)тех формул из О(А), к-рые являются либ. Важными понятиями М. т. являются понятия универсальной, однородной и насыщенной систем. Пусть Аи В — алгебраич. системы сигнатуры . Отображение f множества во множество наз. элементарным, если для каждой формулы языка 1-й ступени сигнатуры и любых имеет место эквивалентность . Система Аназ. -универсальной, если для каждой системы В, элементарно эквивалентной системе Аи имеющей мощность, не превосходящую , существует элементарное отображение в . Система Аназ. -однородной, если для любого множества , мощность к-рого меньше , каждое элементарное отображение в продолжается до элементарного отображения на (т. е. до автоморфизма А). Система Асигнатуры наз. -насыщенной, если для каждого множества , мощность к-рого меньше , и каждой совокупности формул языка 1-й ступени сигнатуры , не содержащих свободных переменных, отличных от , из конечной выполнимости в следует выполнимость в . Система Аназ. универсальной (соответственно однородной или насыщенной), если и Аявляется универсальной (соответственно -однородной или насыщенной), где есть мощность . Система тогда и только тогда насыщена, когда она одновременно универсальна и однородна. Две элементарно эквивалентные насыщенные системы одной мощности изоморфны (см. [3]). Все несчетные модели категоричной в несчетных мощностях элементарной теории счетной сигнатуры насыщены (теорема Морли, см. [3], [8]). Большое число примеров -насыщенных систем доставляют ультрапроизведения. Напр., если D- неглавный ультрафильтр на счетном множестве , то является -насыщенной системой для любых алгебраич. систем счетной сигнатуры . Основными задачами М. т. являются изучение выразительной возможности формализованного языка и изучение классов структур, определимых средствами этого языка. Найдены нек-рые важные свойства стабильных теорий, еще более детально изучены классы категоричных и суперстабильных теорий. Основным аппаратом при изучении стабильных теорий является классификация формул и локально совместных множеств формул в этих теориях. Такая классификация осуществляется путем приписывания формулам рангов. Эти ранги обычно принимают в качестве значений ординалы, а рангующие функции задаются с помощью специальных топологий или другим способом. Изучение рангующих функций и их усовершенствование — богатый источник информации о теориях. В изучении классов моделей выясняют число различных с точностью до изоморфизма моделей теории в рассматриваемой мощности и наличие специальных моделей, напр, простых, минимальных, насыщенных, однородных, универсальных, конструктивизируемых и т. п., и создают способы их построения. Классич. примерами применения методов М. т. в математич. анализе являются работы А. Робинсона (A. Robinson) и его школы, сформировавшиеся в самостоятельную науку — нестандартный анализ;благодаря работам А. И. Мальцева и его школы развивается применение методов М. т. в топологич. алгебре; новейшие результаты о свойствах стабильных теорий находят использование при изучении конкретных алгебраич. вопросов. Перечисленные выше проблемы встают и при изучении различных неэлементарных языков, напр., получаемых добавлением новых кванторов, введением в рассмотрение бесконечных выражений, модальностей и т. п. Лит.:[1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [2] Робинсон А., Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры, пер. с англ., М., 1967; [3] Тайцлин М. А., Теория моделей, Новосиб., 1970; [4] Ершов Ю. Л., Проблемы разрешимости и конструктивные модели, М., 1980; [5] Ершов Ю. Л., Палютин Е. А., Математическая логика, М., 1979; [6] Ершов Ю. Л. [и др.]. "Успехи матем. наук", 1965, т. 20, в. 4, с. 37 -108; [7] Мальцев А. И.,Тр. Четвертого Всесоюзного математического съезда, т. 1, Л., 1963, с. 169-98; [8] Кейслер Г., Чэн Ч. Ч., Теория моделей, пер. с англ., М., 1977; [9] Сакс Д ж.,, Теория насыщенных моделей, пер. с англ., М., 1976; [10] Vaught R.L., в сб.: Infinistic methods, N. Y. [а. о.], 1961, р. 303-21; [11] Моrlеу М., Vaught R.,"Math. scand.", 1962, v. 11, fasc. 1, p. 37-57; [12] Mоrleу М., "Trans. Amer. Math. Soc", 1965, v. 114, № 2, p. 514-38; [13] Shclah S., Classification theory and the number of non-isomorphic models, Amst., 1978; [14] Bell I. L., Slоmsоn А. В., Models and ultraproduets. An introduction, Amst.- L., 1969. А. Д. Тайманов, M. А. Тайцлин.