МНОЖЕСТВО

МНОЖЕСТВО – философская категория, рассматриваемая, как правило, совместно с категорией единого [ЕДИНОЕ], а также одно из главных понятий математики, развитое на основании этих категорий.

Платон вводит понятие множества, исходя из противопоставления единого и иного. Единое, по определению, не подразумевает ничего, кроме себя, т.е. не допускает никакого отношенияи может быть мыслимо лишь само по себе. Иное же всегда есть иное по отношению к чему-то (также иному по отношению к нему). Следовательно, иное подразумевает множество. Однако множество невозможно мыслить, исключив представление о едином, поскольку в противном случае каждая его часть (элемент) не может быть рассмотрена как единство, а будет дробиться до бесконечности. Этот аргумент был впоследствии развит Проклом [ПРОКЛ], который всякое множество рассматривал как причастное единому в двух отношениях: во-первых, как ограниченное целое, а во-вторых, как составленное из единичностей. Мысль о причастности множества единому он истолковал так, что всякое множество произведено от единого-в-себе, а единство является одновременно производящей мощью, которая уменьшается вместе с количественным ростом множества, поскольку последний означает уменьшение причастности единому. Важный аспект отношения единого и многого был рассмотрен Аристотелем, который среди других значений единства указал непрерывность. Непрерывное количество (величина) едино и противопоставляется раздельному количеству (см. число [ЧИСЛО]), которое есть множество единиц. Попытка рассмотрения непрерывного количества как множества является грубой логической ошибкой, приводящей к апориям [АПОРИЯ]. Возникновение последних Аристотель объясняет именно неправомерным представлением единого (непрерывного) как множества – единого интервала времени как множества моментов или единого отрезка прямой как множества точек.

Философия Нового времени не уделила понятию множества такого серьезного внимания, как античная. Кант ввел эту категорию в свою таблицу чистых понятий рассудка как одну из трех категорий количества (две другие – единство и цельность), но, рассматривая схемы количества, говорил уже не о множестве, а об экстенсивной величине. Последняя должна быть рассмотрена как цельность, формируемая последовательным прибавлением друг к другу множества частей. Дальнейший философский интерес к понятию множества обусловлен развитием множеств теории [МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ]в математике. Именно с этой теорией был в значительной мере связан кризис оснований математики, потребовавший значительной переоценки не только содержания математического знания, но и его философских оснований.

В качестве математической теории «учение о множествах» было создано Кантором [КАНТОР], который, впрочем, рассматривал его не как одну из математических дисциплин, а как фундамент для всей математики. Из понятия множества предполагалось вывести все основные математические понятия, прежде всего понятие числа. В основе канторовского представления о множестве лежит аристотелевское определение сущности, т.е. того, что может выступать лишь как подлежащее предложения и о чем сказываются его свойства. Кантор рассматривает множество как класс предметов, наделенных общим свойством и ясно отличимых, на основании исключенного третьего закона [ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО ЗАКОН], от всех других предметов, этим свойством не обладающих. Само множество также рассматривается как сущность и может объединяться в совокупность с другими множествами. Причем часто используемый Кантором прием формирования множеств состоит в выделении всех предметов, обладающих данным свойством. Этот прием вызвал в дальнейшем серьезные подозрения из-за того, что не указывает никакой конструктивной процедуры, а потому вводит в рассмотрение объекты, имеющие сомнительный онтологический статус. Для Кантора ясное указание свойства было достаточным основанием признать существующим и предмет, которому это свойство приписывается. Иными словами, свойство конституирует сущность, о которой сказывается. Но поскольку свойство отождествлено с множеством, всякое множество является конституирующим для своих элементов. Существование объекта всегда обусловлено его включением в множество. Поэтому Кантор строит бесконечную иерархию все более мощных множеств, последовательно включаемых одно в другое. Это явно противоречит идеям Прокла, который в наращивании множественности видел угасание производящей мощи и нарастание неопределенности (беспредельность). Завершением этой иерархии явилось «множество всех множеств, не являющихся собственным элементом». Введенное так понятие содержит очевидное противоречие, однако способ его образования ничем не отличается от способов образования других понятий канторовской теории. Последнее обстоятельство поставило под подозрение все созданное Кантором учение о множествах, а заодно и значительную часть всей математики, поскольку остался неясен сам механизм появления противоречия.

Еще одно введенное Кантором понятие, которое порождает трудности, – это понятие непрерывного множества. Важным результатом Кантора является теорема о том, что мощность любого множества всегда меньше мощности множества всех его подмножеств. В частности, множество всех подмножеств множества натуральных чисел превосходит последнее по мощности, т.е. является несчетным. Кантор доказал также существование взаимно-однозначного соответствия между этим несчетным множеством и множеством всех точек произвольного отрезка прямой или множеством всех действительных чисел, лежащих в заданном интервале. Такие множества Кантор назвал непрерывными, а их множество – континуумом. Хотя эти множества довольно прочно вошли во многие учебники, их использование нельзя считать полностью логически оправданным. Уже Аристотель считал рассмотрение непрерывной конфигурации как множества грубой ошибкой. К этому можно добавить, что если признать, напр., отрезок прямой состоящим из бесконечного числа отличимых друг от друга элементов, то невозможно представить никакого способа индивидуации [ИНДИВИДУАЦИЯ]этих элементов и их реального различения между собой, поскольку всякое множество имен или предложений языка может быть только счетным.

Канторовский проект создания теории множеств как основания математики был позднее осуществлен Цермело, который создал аксиоматическую теорию множеств. В рамках этой теории действительно оказалось возможным дать определения основных понятий математики, исходя из понятия множества. Однако за подходом Цермело можно увидеть совершенно иные, нежели у Кантора, философские основания. Термины «множество» и «элемент множества» вводятся как неопределяемые, точнее, они определяются системой отношений, фиксированных в аксиомах. Последнее может значить, что они должны быть рассмотрены не как сущности, обладающие свойствами, а как неопределенные сами но себе объекты, обозначающие лишь места в заданной теорией абстрактной структуре.

Литература:

1. Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985;

2. Платон. Парменид.– Собр. соч. в четырех томах, т. 2, с. 346–412;

3. Прокл. Первоосновы теологии. – В кн.: Лосев А.Ф. История античной эстетики. Высокая классика. М., 1974;

4. Френкель Α., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966;

5. Новосёлов Μ.Μ. Абстракция множества и парадокс Рассела. – В кн.: Тр. научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН (1998). М., 1999.

Г.Б.Гутнер