Многообразие

Геометрический объект, локально имеющий строение (топологическое, гладкое, гомологическое или иное) числового пространства или другого векторного пространства. Это фундаментальное понятие математики уточняет и обобщает на любое число измерений понятия линии и поверхности. Введение этого понятия вызвано разнообразными потребностями как самой математики, так и др. наук. В математике М. возникают прежде всего как совокупности решений невырожденных систем уравнений, а также как различные совокупности геометрических и др. объектов, допускающих введение локальной параметризации (см. ниже), напр., совокупность плоскостей размерности kв . Они появляются также как решение многомерных вариационных задач (мыльные пленки), как интегральные многообразия пфаффовых систем и динамических систем, как группы геометрических преобразований и их однородные пространства и др. В физике они играют роль моделей пространства-времени, в механике служат фазовыми пространствами, уровнями энергии и проч., в экономике поверхностями безразличия, в психологии пространством ощущений (напр., цветов) и т. д. Хотя исходная идея, кладущаяся в основу определения М., относится к их локальному строению ("такому же, как у Rn "), эта идея позволяет выделить целый ряд характерных именно для М. глобальных черт: (не) ориентируемость, гомологическая Пуанкаре двойственность, возможность определения степени отображения одного М. на другое той же размерности и проч. Особое значение имеет введение касательного расслоения и связанных с ним инвариантов. Локальное строение М. позволяет также привлечь к их изучению геометрическую технику: приведение в общее положение, построение Морса функций и проч., к-рая служит для геометрического изучения глобального строения М., это, грубо говоря, заключается в представлении возможно более простым образом М. в виде объединения простых кусков, симплексов или ручек. При использовании понятия М. также обычно совершается переход от локального к глобальному. Первым шагом является введение параметризации, т. е. представление "пространства состояний" данной задачи областью числового пространства. Это дает возможность описать каждое состояние набором чисел — координатами соответствующей точки (координатный метод). В целом пространство состояний может не допускать подобного описания, т. е. может не иметь гомеоморфизма на область в . Если не прибегать к параметризации с вырождениями (как в полярных координатах и их обобщениях), то возможны два пути: либо введение сначала большего, чем необходимо, числа параметров, и выделение истинного пространства неявно системой уравнений ("уравнения состояния"), либо пространство параметризуется по частям локально, "в малом". Например, множество прямых на плоскости покрыто двумя подмножествами:, состоящее из прямых с уравнениями вида состоящее из прямых с уравнениями вида оба они гомеоморфны с параметризацией парами соответственно. Однако в целом это множество гомеоморфно открытому листу Мёбиуса. Когда М. естественно появляются в той или иной области, они обязательно несут какую-либо дополнительную структуру, к-рая и служит предметом изучения в этой области. Однако важную роль играет и топологич. строение, к-рое ограничивает априорные возможности. Наоборот, в топологии локальные и глобальные свойства М. изучают, привлекая дополнительные структуры (напр., гладкую) в качестве инструментов. Фундаментом общего понятия М. является определение топологического многообразия как топологич. пространства, в к-ром каждая точка имеет окрестность и гомеоморфизм на область в или в полупространстве гомеоморфизм наз. локальной параметризацией или картой, в . Размерность n=dim Mявляется инвариантом связного М. Для несвязного М. обычно берут компоненты одной размерности. М. распадается на внутренность Int Mи край дМ:точки края отвечают в своих картах точкам границы в Rn. Край является (n-1)-мерным М. без края и может бить пустым. Связное М. без края наз. открытым, если оно некомпактно, и замкнутым, если оно компактно. Простейшими примерами четырех возможных типов М. служат шар и его граничная сфера . Хотя нехаусдорфовы М. встречаются в некоторых ситуациях (напр., пространства пучков), обычно принимают, что М. хаусдорфово, паракомпакт-но, имеет счетную базу, в частности, метризуемо. Глобальное задание М. осуществляется атласом — набором карт, покрывающих М. Для использования М. в математич. анализе нужно, чтобы пересчет координат от одной карты к другой был дифференцируемым. Поэтому чаще всего рассматривают дифференцируемые многообразия. Более общим образом вводится понятие Г-строения на М., задаваемого атласами , в к-рых координатные переходы между картами являются гомеоморфизмами, входящими в систему -отображений областей в , замкнутую относительно композиций. Если Г состоит из непрерывно дифференцируемых раз отображений, то говорят, что класс гладкости М. есть . Аналогично определяются аналитические многообразия, кусочно линейные, липшицевы и др. типы М. Два Г-атласа задают одно Г-строение, если их объединение есть Г-атлас. Классификация Г-строений является важнейшей проблемой геометрии М. Отображение одного Г-многообразия в другое наз. Г-отображением, если локально оно имеет "координатное представление" — карты в Ми N, а . В частности, имеется понятие Г-гомеоморфизма ( -диффеоморфизма в случае Г= С r Поскольку в математич. анализе М. важны как носители дифференцируемых отображений, их иногда определяют (см. [12]) через запас гладких функций, определенных в окрестностях точек (см. Росток). Развитие этой идеи привело к понятию предмногообразия, или окольцованного пространства (пучка колец), и далее к понятию схемы. Заменяя Rn на другие векторные и иные пространства, приходят к различным обобщениям понятия М., таким, как напр, комплексно-аналитические М. Бесконечномерные М. возникают в математич. анализе и топологии как пространства отображений и сечений расслоений, как пространства гомеоморфизмов, замкнутых подмножеств и пр. Их локальными моделями служат векторные пространства (банаховы и иные) и такие пространства, как гильбертов кирпич. Понятие гладких и иных строении на бесконечномерных М. изучено недостаточно. Трудности здесь возникают из-за отсутствия технических теорем типа аппроксимаций, существования разбиения единицы (мал запас гладких функций), теоремы о неявной функции и т. п. М. возникают как подмножества при неявном задании их в виде множеств решений систем уравнений (и неравенств в случае непустого края). Этим М. задается сразу, а не по частям, как в случае задания атласом. Однако необходимы условия невырожденности, иначе всякое замкнутое множество можно задать одним уравнением. Существование локальной параметризации обеспечивается по теореме о неявной функции условием максимальности ранга Якоби матрицы данной системы. Уравнения служат языком для выражения средствами математич. анализа свойств М., служащих для определения М. Напр., свойство ортогональности -матрицы записывается системой из уравнений относительно элементов матрицы. Система оказывается невырожденной, а группа ортогональных матриц гладким подмногообразием в В механич. системе с уже введенными координатами меньшие системы выделяются уравнениями или неравенствами, выражающими ограничения или "связи". Если условие невырожденности системы выполнено во всех точках М., то градиенты функций образуют оснащение (k-репер, ортогональный к касательной плоскости в точке М. и непрерывно зависящий от этой точки). М., допускающие оснащение, образуют довольно узкий класс стабильно параллелизуемых М. (напр., они имеют ориентацию). Но локально любое дифференцируемое М. в может быть задано невырожденной системой, а с помощью разбиения единицы можно построить и систему постоянного (а не максимального) ранга, задающую М. Для М., заданного атласом, возникает задача реализации его как подмногообразия в с учетом того или иного Г-строения. Любое топологическое, гладкое или кусочно линейное М. Мвкладывается, т. е. Г-гомеоморфно подмногообразию, в , а в множество вложений плотно в пространстве всех непрерывных отображений. Для других классов вопрос существенно сложнее. Интенсивно он изучается, напр., для римановых многообразий. Алгебраические многообразия, реализующиеся в комплексном проективном пространстве (заменяющем здесь ), составляют очень специальный класс Ходжа многообразий. Если допускать вырожденность системы уравнений, то возникают М. Исследование топологии М. в этом направлении до 70-х гг. было по-существу использованием гладких и кусочно линейных строений на М. (точнее, на гомотопическом типе М.). Переход к чисто топологическим результатам стал возможным лишь после доказательства трудных и глубоких теорем, начиная с доказательства топологической инвариантности характеристических (рациональных) классов (см. Топология многообразий). В конце 70-х г. с этим направлением слилось и упомянутое выше направление чисто топологического изучения М. Ярким примером служит доказательство гипотезы о том, что двойная надстройка над гомологи- ческой трехмерной сферой есть многообразие (сфера). Это позволило дать топологическую характеризацию М. (известную до этих пор лишь для одномерных многообразий и двумерных многообразий), прояснить вопрос о том, какие полиэдры являются М. (препятствием здесь служит лишь недоказанная пока (1982) Пуанкаре гипотеза в размерностях 3 и 4) и др., см. Топология многообразий и [19]. Исторический очерк. Начальный период изучения М. связан с анализом понятия многомерной параметризации, с исследованиями по геометрии, физич. мира (земной поверхности) и по геометрич. аксиоматике. Два способа задания М. в (локальная параметризация и уравнения) были рассмотрены впервые К. Гауссом (К. Gans?, см. [1] с. 127) для случая поверхностей в , а в многомерном случае А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. [3], с. 459). Ю. Плюккер [5] изучал локальные координаты в М., составленных из кривых, поверхностей и т. п. Г. Грассман пришел в [6] к общей идее "многомерной протяженности", к-рая была под названием "многообразие" введена в математику Б. Ри-маном (В. Riemaim) в его знаменитой лекции "О гипотезах, лежащих в основании геометрии" (см. [1] с. 30). Свойства различных специальных координат изучались К. Якоби (С. Jacobi), Г. Ламе (G. Lame) и др. (см. [8]). К. Гаусс (см. [1] с. 123) начал в связи со своими работами по геодезии систематич. изучение поверхностей, введя понятие внутренней геометрии и тем самым о М., не зависящем от объемлющего числового пространства, и фактически понятие структуры на М. Его идеи были вполне поняты лишь в теории характеристич. классов, построенной в середине 20 в. Б. Риман перенес идеи К. Гаусса на многомерные М. На основе римановой геометрии был создан трудами Риччп, Леви-Чивита, Кристоффеля и др. тензорный анали;;, дальнейшее развитие к-рого шло в тесной связи с теорией относительности. Другая геометрическая линия развития понятия М. берет начало в открытии возможности неевклидовых геометрий и в построении геометрии на основе понятия движения (Г. Гельмгольц, Н. Helmholtz, см. [1] с. 366). Эта идея была превращена в широкую программу теоретико-группового построения геометрии Ф. Клейном (К. Klein, см. [1] с. 399 и [8]) и привела к глубоким работам С. Ли (S. Lie) по теории непрерывных групп. Линия Гельмгольца — Клейна — Ли долгое время оставалась в стороне от линии Гаусса — Ри-мана — Риччи, заимствовав у нее понятие кривизны, но интересуясь лишь Клейна пространствами. Однако здесь были поставлены важные вопросы о глобальном строении групп Ли и их однородных пространств и тем самым привлечено внимание к глобальному строению М. Важным фактом было произведшее глубокое впечатление открытие Клейном эллиптической геометрии, локально эквивалентной сферической, но глобально имеющей существенно иные свойства, а также открытие Мёбиусом и Клейном явления неориентируемости. Синтез обоих направлений произошел в работах Э. Картана (Е. Cartan, см. [1] с. 483). Отправляясь от исследований Г. Дарбу (G. Darboux) по теории поверхностей, он рассмотрел подвижного репера метод для произвольного М. в и пришел к теории уравнений структуры — далекого обобщения теории Дарбу, включившего в себя теорию С. Ли. В картановском понятии G-структуры соединились идеи римановой геометрии и теории действия групп Ли. По существу Э. Картан ввел понятие касательного расслоения и его структурной группы, окончательно оформленного лишь в 40-х гг. 20 в. (см. [13]). Это понятие позволило также. объединить математич. анализ на М. с топологич. изучением М. Основой послужил изоморфизм де Рама (см;; Рама теорема)- окончательное оформление принадлежащей Пуанкаре идеи (см. [3] с. 472) о связи между вещественными когомологиями и дифференциальными формами. Важнейшим следующим шагом было введение характеристических классов и их выражение как интегралов от форм, выражающихся через форму кривизны (примером здесь служит выражение эйлеровой характеристики в теореме Гаусса — Бонне в форме Дика, см. [14] с. 186). Топологическое изучение М. началось с открытия римаповых поверхностей в связи с представлением комплексно аналитических функций интегралами как попытка избавиться от многозначности этих функций. "Периоды" интегралов привели к понятию чисел связности и в конечном счете к гомологиям. Мысль о многомерном обобщении этого понятия и идея о глобальном гомологическом изучении М. принадлежит Риману (см. [2] с. 294). Это изучение было начато А. Пуанкаре, сделавшим ряд важных открытий и доказавшим Пуанкаре двойственность. Стимулирующую роль имело последовавшее за открытием Римана изучение двумерных многообразий (в первую очередь Мёбиусом и К. Жорданом, см. [14] с. 244), приведшее к полной их классификации. Окончательно это оказалось возможным проделать лишь после прояснения понятия "чистого" гомеоморфизма (А. Пуанкаре, например, пользовался в сущности кусочно гладкими гомеоморфизмами). Это прояснение явилось одним из итогов анализа непрерывности числового континуума, предпринятого в конце 19 в. Наибольшее значение имели в этом направлении постановка 5-й проблемы Гильберта и работы Л. Брауэра (L. Brouwer, [9]), доказавшего теоремы (инвариантность области, инвариантность размерности), к-рые позволили Г. Вейлю [4] сформулировать приятие топологич. М. Однако в высших размерностях топологическое изучение М. долгое время велось в рамках гладких и кусочно линейных строений. Гладкие строения, введенные в книге [20], были проанализированы в основном X. Уитни [21] , а также Г. Уайтхедом и др. Кусочно линейные структуры были введены Л. Брауэром и проанализированы Дж. Александером [22] и также М. Ньюменом (М. Newman) и Г. Уайтхедом. Долгое время они рассматривались лишь как вспомогательное средство топологического изучения М. Лишь в конце 50-х гг. была открыта неединственность гладких строений уже на сферах и в конце 60-х гг. возможность неединственности кусочно линейных строений (например, на торах). После 50-х гг. 20 в. изучение М. проходило под знаком объединения идей топологии и анализа, основанного в первую очередь на понятии характеристич. классов (см. [17]). Лит.:[1] Обоснованиях геометрии, М., 1956; [2] Риман Б., Соч., пер. с нем., М.- Л., 1948; [3] Пуанкаре А., Избр. тр., пер. с франц., т. 2, М., 1972; [4] Wеуl Н., Die Idee der Riemannschen Flache, 3 Aufl., Stuttg., 1955; [5] Plueсker J., Neue Geometrie des Raumer . . ., Abt. 1-2, Lpz., 1868-69; [6] Grass mann H., Die Ausdelmungslehre von 1844, Lpz., 1894; [7] Kronecker L., "Monatsber. Preuss. Akad. Wiss.", 1869, S. 159-226; [8] Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М.- Л., 1939; [9] Вrоuwеr L. E. J., "Math. Ann.", 1911, Bd 70, S. 161-65; 1911, Bd 71, S. 97-115; 1912, Bd 72, S. 55-6; [10] Weyl H., Mathematische Analyse des Raumproblems, В., 1923; [11] Стинрод Н. Е., Топология косых произведений, пер. с англ., М., 1953; [12] Шевалле К., Теория групп Ли, пер. с англ., т. 1, М., 1948; [13] Лихнерович А., Теория связностей в целом и группы голономий, пер. с франц., М., 1960; [14] Xирш М., Дифференциальная топология, пер. с англ., М., 1979; [15] Манкрс Д ж., в кн.: Милнор Дж., Сташеф Дж., Характеристические классы, пер. с англ., М., 1979, с. 270-358; [16] Nijenhuis A., Theory of the geometric object, Amst., 1952; [17] Хирцебpуx Ф., Топологические методы в алгебраической геометрии, пер. с англ., М., 1973; [18] Сулливан Д., Геометрическая топология, пер. с англ., М., 1975; [19] Cannon J. W., "Bull. Amer. Math. Soc", 1978, v. 84, № 5, p. 832-66; [20] Веблен О., Уайтхед Дж., Основания диференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1940; [21] Whitney H., "Ann. Math.", 1936, v. 37, p. 645-80; [22] Alexander J.W., "Trans. Amer., Math. Soc", 1926, v. 28, p. 301-29. См. также лит. при статьях Дифференциальная гео метрия многообразий, Дифференциальная топология, Дифференцируемое многообразие. А.