Многомерная Геометрия

Геометрия пространств размерности, большей трех; термин применяется к тем пространствам, геометрия к-рых была первоначально развита для случая трех измерений и только потом обобщена на число измерений n>3, прежде всего евклидово пространство, а также пространства Лобачевского, Римана, проективное, аффинное, псевдоевклидово. (Общие же римановы и др. пространства были определены сразу для пизмерений.) В настоящее время разделение трехмерной и многомерной геометрий имеет главным образом историческое и педагогич. значение, т. к. задачи ставятся и решаются для любого числа измерений, когда и поскольку это осмысленно. Построение геометрии указанных пространств для пизмерений проводится по аналогии со случаем трех измерений. При этом можно исходить из обобщения непосредственно геометрич. оснований трехмерной геометрии, из той или иной системы ее аксиом или из обобщения аналитич. еометрии, перенося ее основные выводы со случая трех координат на произвольное п. Именно так и начиналось построение n-мерной евклидовой геометрии. Исторически представление о более чем трехмерном пространстве зарождалось постепенно, первоначально на почве геометрич. представления степеней: а 2 — "квадрат", а 3 — "куб", но а 4 и т. д. уже не имеет наглядного представления, и говорили а 4 — "биквадрат", а 5 — "кубо-квадрат" и т. д. (еще у Диофанта в 3 в. и далее у ряда средневековых авторов). Мысль о многомерном пространстве выражал И. Кант (I. Kant, 1746), а о присоединении к пространству времени в качестве 4-й координаты писал Ж. Д'Аламбер (J. D'Alenobert, 1764). Построение же n-мерной геометрии было осуществлено А. Кэли (A. Cayley, 1843), Г. Грассманом (Н. Grassmann, 1844) и Л. Шлефли (L. Schlafli, 1852). Первоначальные сомнения и мистика, связанные со смешением этих обобщений с физич. пространством, были преодолены, и n-мерное пространство как плодотворное формально-математич. понятие скоро полностью укрепилось в математике. Евклидово пространство произвольного числа измерений (не исключая случая бесконечномерного) проще всего определить как такое, в к-ром выделены подмножества — прямые и плоскости, имеются обычные отношения: принадлежности, порядка, конгруэнтности (или определены расстояния, или движения) и выполняются все обычные аксиомы, кроме следующей: две плоскости, имеющие общую точку, имеют по крайней мере еще одну. Если это выполнено, то пространство трехмерно, если же не выполнено, так что, есть две плоскости с единственной общей точкой, то пространство, как минимум, четырехмерно. Понятие плоскости обобщается следующим образом: плоскостью наз. такое множество точек, к-рое вместе с любыми двумя своими точками содержит и проходящую через них прямую. В этом смысле все пространство тоже является плоскостью. Пересечение всех плоскостей, содержащих данное множество точек М, будет плоскостью, "натянутой на М" (аффинной оболочкой М). Если плоскость натягивается на m+1 точку, но не натягивается на меньшее их число, то она наз. т- мерной, или, короче, т-плоскостью. Точка есть 0-плоскость, прямая — 1-плоскость, обычная плоскость — 2-плоскость, трехмерное пространство — 3-плоскость. Пространство наз. n-мерным, если оно является n-плоскостью. То есть, для определения n-мерного евклидова пространства Е п при любом данном достаточно добавить аксиому: пространства есть n-плоскость. В нем есть m-плоскости с Каждая m-плоскость с является m-мерным евклидовым пространством . Так как 4 точки всегда содержатся в 3-плоскости, то и любые две прямые содержатся в 3-плоскости, т. е. в . В Е п через любую точку можно провести п, и не более, взаимно перпендикулярных прямых и ввести соответственно прямоугольные координаты ; в них длина любого отрезка XY выражается формулой Формулу (*) можно положить в основу координатного определения Е n , равносильного предыдущему. Именно: Е п есть такое множество, в к-ром введены координаты (принимающие все возможные значения) и каждой паре точек сопоставляется число — "расстояние" формулой (*); при этом к геометрии Е п относятся те и только те определения и утверждения, к-рые могут быть формулированы через отношения расстояний. Напр., отрезок АВ есть множество всех точек X, для к-рых , а прямая А В- всех тех X, для к-рых . Векторное исчисление строится в Е п так же, как в Е 3 (исходя из геометрических или координатных определений); разница лишь в том, что в Е п вектор имеет псоставляющих (соответственно п. векторов могут быть независимыми). Напр., скалярное произведение: Только векторное произведение при n>3 не может быть определено, т. к. 2-плоскость имеет перпендикуляры разных направлений (проведенные из одной точки они заполняют (п-2)-плоскость). Вместо векторного произведения пользуются понятием бивектора. Сочетание непосредственно геометрических, координатных и векторных методов дает наиболее полный арсенал средств развития геометрии Е п. Геометрич. подход, позволяет сразу перенести в Е п планиметрию и стереометрию, т. е. геометрию на 2- и 3-плоскостях, и далее построить стереометрию самого Е п, к-рая естественно обобщает стереометрию Е 3 :теорема о перпендикулярах, параллельных плоскостях и др. Напр., прямая, перпендикулярная тпрямым в m-плоскости, перпендикулярна ко всякой прямой в ней. Многие определения и доказательства даются для Е п индукцией по п. Напр., n-мерный многогранник, или n-многогранник,, есть тело (замкнутая ограниченная область в Е п), граница к-рого состоит из конечного числа (п-1) — многогранников. Простейшие многогранники: призма заполняется равными параллельными отрезками, проведенными из всех точек (п-1)-многогранника, пирамида — отрезками, проведенными из одной точки во все точки ( п-1)-многогранника; простейшие из них: n-куб — прямая призма, грани к-рой суть ( п-1)-кубы (2-кубы — квадрат); n-симплекс с (п-1)-симплексом в основании (2-симплекс — треугольник). Объем определяется так же, как в E3 , соответственно в Е п имеется побъемов: 1-объем — длина, 2-объем — площадь и т. д. У призмы п-объем , у пирамиды , где Sесть (п-1)-объем основания, h- высота. Обширную и развитую область геометрии Е п представляет теория выпуклых тел. Можно различать три рода фактов М. г.: 1) те, к-рые являются прямым обобщением фактов из Е 3 (напр., только что приведенные теоремы об объемах); 2) те, к-рым соответствуют аналогичные факты для разных размерностей (напр., выпуклое тело с центром симметрии однозначно определяется m-объемами своих m-мерных проекций при любом данном );3) те, в к-рых обнаруживаются существенные различия в разных (напр., число правильных многогранников в при их всего 3: симплекс, куб и двойственный кубу аналог октаэдра; другой пример: выпуклый многогранный (не трехгранный) угол в изгибаем, в при всегда неизгибаем; существенно различаются теории поверхностей в и в с n>3). Совершенно аналогично определяются пространство Лобачевского и аффинное пространство В пространстве выполняются все те же аксиомы, что в , с заменой аксиомы параллельности на противоположную, а в — все аксиомы за вычетом аксиом конгруэнтности, вместе с чем исключается и само понятие конгруэнтности. Аналогично, изменением аксиом сочетания можно определить n-мерное проективное пространство Р п. Другой способ определения всех этих пространств состоит в том, что в них вводятся координаты, задается группа их преобразований и геометрическими считаются те и только те соотношения, к-рые инвариантны относительно этой группы. В случае Е п- это группа подобий (сочетания ортогональных преобразований, переносов и умножений всех координат на число ); для А п- это группа всех линейных (неоднородных) преобразований; см. также Проективная геометрия, Лобачевского геометрия. Псевдоевклидовы пространства можно определить в координатах: есть множество, в к-ром введены координаты и "интервалы" между точками геометрическими считаются определения и утверждения, формулируемые через отношения интервалов; иначе — те, к-рые инвариантны относительно группы преобразований, сохраняющих отношения интервалов. В частной теории относительности пространство-время определяется как : в нем интервалы где t- время, х, у, z — пространственные координаты в данной системе отсчета и с=const — скорость света. А. Д. Александров.