Минимаксное Свойство

Собственных значений — специального типа соотношения, связывающие собственные значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Ас максимальным и минимальным значениями соответствующей ему квадратичной формы ( Ах, х). Пусть А- самосопряженный вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространстве Н. Спектр оператора Асостоит из конечного или счетного множества действительных собственных значений ln , имеющих единственную предельную точку, равную нулю. Соответствующие ненулевым собственным значениям корневые подпространства состоят из собственных векторов и конечномерны; собственные подпространства, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны; оператор Аимеет полную систему собственных векторов. Спектральное разложение оператора Аимеет вид: где li — различные собственные значения, Р i- проекторы на соответствующие собственные подпространства, причем ряд сходится по операторной норме. Норма оператора Асовпадает с максимальным по модулю собственным значением и совпадает с при этом максимум достигается на соответствующем собственном векторе. Пусть — положительные собственные значения оператора А, причем каждое собственное значение повторяется столько раз, сколько его кратность. Тогда где x, yi , . . ., yn — произвольные ненулевые векторы пространства Н. Аналогичные соотношения справедливы для отрицательных собственных значении Соотношения (1) и (2) применяются для нахождения собственных значений интегральных операторов с симметричным ядром. Если Аи В- самосопряженные вполне непрерывные операторы, — последовательности их положительных собственных значений, занумерованных в порядке убывания, причем каждое значение повторяется столько раз, какова его кратность, то Лит.:[11 Данфорд Н., Шварц Д ж.-Т., Линейные операторы, пер. с англ., т. 2, М., 1966. А. И. Логинов.