Метрическое Пространство

Множество Xвместе с нек-рой метрикойr на ном. Теоретико-множественный подход к изучению фигур (пространств) основан на исследовании взаимного расположения составляющих их элементарных частей. Одной из фундаментальных характеристик взаимного расположения точек пространства является расстояние между ними. Этот подход к пространственным отношениям и приводит к понятию М. п., впервые выделенному М. Фрепте [2] в связи с рассмотрением функциональных пространств. Оказалось, что естественную метрику несут на себе множества объектов самой разной природы. Как М. Топологич. теория М. п. значительно проще общей теории топологич. пространств. Ниже приводятся наиболее важные топологич. свойства М. п. — имеются ввиду свойства топологии , порожденной метрикой. Каждое М. п. нормально и даже коллективно нормально. Это позволяет продолжать непрерывные действительные функции с замкнутых подмножеств М. п. на все пространство. Более сильное утверждение: для каждого замкнутого подмножества YМ. п. существует линейное отображение пространства всех непрерывных действительных функций на в пространство всех непрерывных действительных функций на такое, что (каково бы ни было f) является продолжением функции и (теорема Дугунджи). Эта теорема связана с теоремой Хаусдорфа о продолжении метрики: если замкнутое подпространство Yметризуемого пространства Xуже метризовано метрикой r1 (порождающей на Y топологию подпространства X), то можно продолжить r1. до метрики р на всем X, порождающей исходную топологию на X. Аналогичные утверждения справедливы для вполне ограниченных метрик и полных метрик. Исследование топологич. свойств М. п. в большей степени основывается на следующей теореме Стоуна: М. п. паракомпактно, т. о. в любое его открытое покрытие g можно вписать локально конечное открытое покрытие l(локальная конечность означает наличие у каждой точки окрестности, задевающей лишь конечное множество элементов покрытия l). На теореме о паракомпактности М. п. основан метризационный критерий Нагаты — Смирнова (см. Метризуемое пространство). Для М. п. имеют место важные теоремы об эквивалентности топологич. свойств, различаемых в рамках общей топологии. Так, совпадают следующие карди-нальнозначные инварианты: плотность, вес, число Суслина, число Линделёфа. Для М. п. равносильны: счетная компактность, псевдокомпактность и бикомпактность. Для М. п. совпадают размерности dim (в смысле покрытий) и Ind (большая индуктивная), а для сепарабельных М. п. с dim и Ind совпадает и малая индуктивная размерность ind (см. Размерности теория). Каждое М. п. звездно нормально: в любое открытое покрытие упространства можно вписать открытое покрытие l. звездно, т. е. так, что для каждой точки найдется , содержащее всякое , для к-рого. С этой теоремой связан критерий метризуемости (Стоуна-Архангельского). Критерием метризуемости регулярного пространства вполне ограниченной метрикой является наличие в этом пространстве счетной базы — но даже счетное регулярное пространство может быть не метризуемо. Простейший пример получается присоединением к дискретному натуральному ряду какой-нибудь одной точки из нароста Стоуна- Чеха бикомпактного расширения натурального ряда. Неожиданный характер носит критерий метризуемости метризуемого пространства Xполной метрикой — для этого необходимо и достаточно, чтобы Xбыло множеством типа Gd. в каком-нибудь (а тогда и в любом) бикомпактном хаусдорфовом расширении пространства X. Впрочем, бикомпактные хаусдорфовы расширения М. п. несут полную информацию о топологии последних, как это видно из теоремы Чеха: М. п. гомеоморфны в том и только в том случае, если гомеоморфны их расширения Стоуна — Чеха. М. п. может не иметь счетной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счетности — имеет счетную базу в каждой точке. Более того, каждый компакт в М. п. имеет счетную базу окрестностей. Сверх того, в каждом М. п. существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счетному множеству ее элементов — точечно-счетная база, но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости. Не обязано быть метризуемым и регулярное сепарабельное пространство с первой аксиомой счетности. Просто выглядит условие метризуемости отделимой топологич. группы — для этого необходимо и достаточно, чтобы пространство группы удовлетворяло первой аксиоме счетности, причем на группе тогда существуют как левоинвариантная, так и правоинвариантная метрики, порождающие ее топологию. С каждым М. п. стандартным образом связано другое М. п., а именно пространство всех его непустых замкнутых подмножеств, несущее на себе метрику Хаусдорфа, определяемую следующей формулой: Пространство изометрично замкнутому подпространству полученного М. п. . Если метрика r полна, то и метрика полна. Но из топологич. эквивалентности метрик и , заданных на X, не следует, вообще говоря, что отвечающие им метрики Хаусдорфа и топологически эквивалентны. Непрерывный образ М. п. может быть не гомеоморфен никакому М. п., даже удовлетворяя аксиоме отделимости Хаусдорфа. Это относится и к факторпространствам М. п. Напр., если на плоскости "склеить" в точку фиксированную прямую, взяв в качестве отдельных элементов разбиения все точки плоскости, не попавшие на эту прямую, то получится неметризуемое нормальное сепарабельное пространство — в особой его точке не выполняется первая аксиома счетности. Имеется общий критерий метризуемости факторпространства М. п. (см. 16]). В частности, пространство непрерывного разбиения М. п. на компакты всегда метризуемо. Всякое хаусдорфово пространство, являющееся непрерывным образом компактного М. п., метризуемо и компактно — это частное проявление общего положения о неповышении веса топологич. пространства при непрерывном отображении на бикомпакт. Но и когда образ YМ. п. метризуем, метрику, осуществляющую метризацию Y, не удается получить из метрики посредством какой-либо формулы. Вместо метрики на по естественно определяется функция dпосредством правила: для любых равно расстоянию в смысле р между прообразами точек и при рассматриваемом отображении. Часто (напр., если — пространство разбиения М. п. на компакты) хорошо согласуется с топологией Yи является симметрикой. Последнее означает, что для всех если и только если . Симметрика d, так определенная, почти никогда не удовлетворяет аксиоме треугольника, но если разбиение на компакты непрерывно, то dобладает топологич. свойствами, с успехом заменяющими аксиому треугольника и гарантирующими метризуемость образа "настоящей" метрикой. Топологич. пространство, являющееся образом М. п. при непрерывном, открытом и замкнутом отображении, само гомеоморфно нек-рому М. п. Однако при непрерывных открытых отображениях метризуемость сохраняется не всегда — все пространства с первой аксиомой счетности и только они представимы как образы М. п. при непрерывных открытых отображениях. Среди обобщений М. п. наиболее важны псевдометрич. пространства, пространства с симметрикой и пространства с 0-метрикой [7]. Они определяются аксиоматически посредством естественных ослаблений системы аксиом М. п. Но расстояние здесь по-прежнему выражается неотрицательной действительным числом. Можно рассматривать обобщенные метрики со значениями в упорядоченных полугруппах, полуполях и т. д. (см. [8]). На этом пути можно осуществить обобщенную метризацию произвольного вполне регулярного пространства. Фундаментальным обобщением концепции М. п. является понятие равномерного пространства. Далее идут чисто топологич. расширения класса М. п., среди к-рых важны классы пространств с равномерной базой, моровских пространств, перистых и паракомпактных перистых пространств, кружевных пространств. Класс паракомпактов является слишком широким обобщением класса М. п., чтобы считаться таковым: паракомпактность не сохраняется даже при возведении в квадрат. Напротив, класс паракомпактных перистых пространств является удачным одновременным обобщением класса пространств, гомеоморфных М. п., и класса бикомпактов. В ином направлении обобщают понятие метрики х-метрики и б-метрики [4]. Концепция стати-стич. М. п., введенная К. Менгером (К. Menger), в топологич. отношении оказалась равноценной понятию пространства с симметрикой. Лит.:[1] Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Frechet M., "Rend. Circolo mat. Palermo", 1906, v. 22; [3] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; [4] Щепин Е. В., "Успехи матем. наук", 1976, т. 31, в. 5, с. 191-226; [5] Еngelking R., General topology, Warsz., 1977; [6] Apxангельcкий А. В., "Докл. АН СССР", 1964, т.155, №2, с. 247-50; [7] Недев С. Й., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1971, т. 24, с. 201--36; [81 Антоновский М. Я., Болтянский В. Г., Сарымсаков Т. А., "Успехи матем. наук", 1966, т. 21, в. 4, с. 185-218; [9] Недев С. Й., Чобан М. М., "Сердика", 1975, т. 1, с. 12-28. А. В. Архангельский.