Метрическая Транзитивность

Динамической системы с ( квази) инвариантной мерой — свойство системы , состоящее в том, что любое измеримое подмножество Афазового пространства , инвариантное относительно (в том смысле, что оно совпадает со всеми своими прообразами ), либо имеет меру нуль, либо с точностью до множества меры нуль совпадает с W. Формально более сильный вариант этого свойства получится, если в определении вместо инвариантных множеств говорить о множествах, инвариантных по mod 0 (такое множество Апри любом t может отличаться от на множество меры нуль). Эти два варианта эквивалентны, если m, является -конечной и "время" пробегает локально компактную группу со счетной базой (см. доказательство для потоков в [1]), но для произвольных групп преобразований это не так (см. пример, приведенный по другому поводу, в [2]). Вместо М. т. говорят также о метрической неразложимости, или эргодичности. Если у данной системы рассматривается несколько (квази) инвариантных мер и m — одна из них, то, вместо того чтобы говорить о М. т. (эргодичности) системы по отношению к мере , говорят о М. т. (эргодичности) меры m. Разложимость нормированной инвариантной меры m естественно понимать иначе — как возможность представления m в виде где — нормированные инвариантные меры, отличные от m , и . Неразложимость m эквивалентна второму (более сильному) варианту М. т. (см. [2], [3]). Если в Wвведена топология, то при естественных предположениях (см. обсуждение для потоков в [1]) из М. т. следует, что для почти всех траектория точки wвсюду плотна (в этом смысле из М. т. следует топологическая транзитивность). Обратное неверно. Начиная с Дж. Неймана [4], получен ряд результатов о разложении неэргодич. систем на эргодич. компоненты. Традиционный в чисто метрич. теории вариант (W- Лебега пространство, соответственно речь идет только об одной (квази) инвариантной мере) см. в [5], [6], [И]. Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов [7] получили для топологич. потоков и каскадов с компактным метрическим Wболее сильные результаты двоякого рода (см. также [8], [9]): 1) разложение инвариантных нормированных мер, совместимых с топологией, на эргодич. меры; 2) "геометрическая" реализация сразу всех этих разложений посредством эргодических множеств. Относительно обобщения этих результатов на другие группы преобразований известно, что 1) справедливо в более широких предположениях, чем 2) (см. [2], [3]). Имеются также аналогичные результаты для динамич. систем (пока только каскадов и потоков) в подходящих измеримых пространствах и (или) для квазиинвариантных мер (см. [9] — [11]). М. т. разбиения пространства с мерой — свойство разбиения, состоящее в том, что любое измеримое подмножество ., целиком состоящее из элементов , либо имеет меру нуль, либо с точностью до множества меры нуль совпадает со всем W. Вместо М. т. говорят также об абсолютной неизмеримости . М. т. динамич. системы, образованной группой преобразований, так что траектории образуют разбиение фазового пространства, совпадает с М. т. этого разбиения. Если же преобразования, образующие динамич. систему, необратимы, то ее М. т. тоже сводится к М. т. нек-рого разбиения, хотя оно описывается сложнее: его элемент, содержащий нек-рую точку, состоит из всех ее образов и всех прообразов этих образов. Лит.:[1] Xопф Э., "Успехи матем. наук", 1949, т. 4, в. 1, с. 113-82; [2] Фомин С. В., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1950, т. 14, № 3, с. 261-74; [3] Боголюбов Н. Н., Избр. труды, т. 1, К., 1969, с. 561-69; [4] Neumann J., "Ann. Math.", 1932, v. 33, № 3, p. 587-642; № 4, p. 789-92; [5] Рохлин В. А., "Успехи матем. наук", 1949, т. 4, в. 2, с. 57-128; [6] его же, "Матем. сб.", 1949, т. 25, № 2, с. 235-49; [7] Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н., в кн.: Боголюбов Н. Н., Избр. труды, т. 1, К., 1969, с. 411-63; [8] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.-Л., 1949; [9] Окстоби Дж., "успехи матем. наук", 1953, т. 8, в. 3, с. 75-97; [10] Кифер Ю. И., Пирогов С. А., там же, 1972. т. 27, в. 1, с. 77-80; [11] их же, там же, в. 5, с. 239-40. Д. В. Аносов.