Метатеория

Метатео́рия

(от Мета...)

теория, анализирующая структуру, методы и свойства какой-либо другой теории — т. н. предметной теории, или объектной. Термин «М.» осмысленно употребляется лишь по отношению к некоторой конкретной предметной теории; так, М. логики называют металогикой (См. Металогика), М. математики — метаматематикой (См. Метаматематика); аналогичный смысл имеют термины «метахимия», «метабиология» и т. п. (за исключением «метафизики»). В принципе можно говорить о М. любой научной дисциплины, как дедуктивной, так и недедуктивной (например, метатеоретическая роль в известном смысле играет философия); однако по-настоящему продуктивным понятие М. оказывается в применении именно к дедуктивным наукам: математике, логике и математизированным фрагментам естествознания и др. наук (например, лингвистики). Более того, фактическим объектом рассмотрения в М. оказывается, как правило, не сама по себе та или иная содержательная научная теория, а её формальный аналог и экспликат — точное понятие исчисления (См. Исчисление) (формальной системы (См. Формальная система)); если же подлежащая исследованию в М. теория носит содержательный характер, то она предварительно подвергается формализации (См. Формализация). Т. о., часть М., изучающая структуру своей предметной теории, имеет дело с ней именно как с формальной системой, т. е. воспринимает её элементы как лишённые какого бы то ни было «содержания» (смысла) чисто формальные Конструктивные объекты, строго идентифицируемые (или, наоборот, различаемые) между собой, из которых по четко сформулированным правилам образования строятся знакосочетания, являющиеся «выражениями» (формулами) данной формальной системы. Эта часть М. — т. н. синтаксис — изучает также дедуктивные средства рассматриваемой предметной теории (см. Дедукция); в ней, в частности, определяется понятие (формального) Доказательства для данной предметной теории, а также более общее понятие вывода из данных посылок. Сама М., в отличие от предметной теории, есть теория содержательная: характер используемых в ней средств описания, рассуждения и доказательства может быть каким-либо специальным образом оговорён и ограничен, но во всяком случае сами эти средства суть содержательно понимаемые элементы обычного (естественного) языка и «логики здравого смысла». Основное содержание М. составляют метатеоремы (См. Метатеорема), или «теоремы о теоремах». Примером синтаксической метатеоремы может служить теорема о дедукции, устанавливающая связь между понятием выводимости (доказуемости) в данной предметной теории (например, в исчислении высказываний или исчислении предикатов) и логической операцией импликации (См. Импликация), входящей в «алфавит» данной предметной теории.

В круг интересов М. входит также рассмотрение всевозможных интерпретаций (См. Интерпретация) исследуемой формальной системы; соответствующая часть (или аспект) М., воспринимающая предметную теорию как Формализованный язык, называют семантикой (см. Логическая семантика). Примером семантической метатеоремы является теорема о полноте классического исчисления высказываний, согласно которой для этого исчисления понятия доказуемой формулы (формальной теоремы) и формулы, истинной при некоторой «естественной» его интерпретации, совпадают.

Многие понятия М. (и относящиеся к ним метатеоремы) носят «смешанный» характер: и синтаксический, и семантический. Таково, например, важнейшее понятие непротиворечивости (См. Непротиворечивость), определяемое и как невыводимость в предметной теории формального противоречия (т. е. конъюнкции (См. Конъюнкция) некоторой формулы и её отрицания (См. Отрицание); т. н. внутренняя непротиворечивость), и как «соответствие» данной предметной теории некоторой её «естественной» интерпретации (т. н. внешняя, или семантическая, непротиворечивость); совпадение обоих этих понятий по объёму есть нетривиальный факт М., относящийся, очевидно, и к синтаксису, и к семантике данной теории. Классическим примером метатеоремы, связывающей ряд важнейших синтаксических и семантических понятий, являются теоремы Гёделя (См. Гёдель) о неполноте формальной арифметики (и содержащих её более богатых логико-математических исчислений) и о невозможности доказательства непротиворечивости широкого класса исчислений формализуемыми в этих исчислениях средствами. Понятие разрешимости формальной теории носит, напротив, чисто синтаксический характер, а понятие полноты (См. Полнота) — по преимуществу семантический. М., конечно, сама может быть формализована и быть предметом изучения некоторой метаметатеории и т. д.

Понятие «М.» впервые было выдвинуто Д. Гильбертом в связи с его программой обоснования классической математики средствами создаваемой его школой теории доказательств (метаматематики). Ряд важнейших метатеоретических результатов (главным образом семантического содержания) был получен А. Тарским (См. Тарский). В развитие идей Тарского и Р. Карнапа, Х. Б. Карри называет М. «эпитеорией», резервируя термин «М. » для некоторого более специального словоупотребления. См. также Аксиоматический метод, Метаязык, Математический формализм.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, гл. III—VIII, XIV, XV; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960 (введение); его же. Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; Карри Х. Б., Основания математической логики, пер с англ., М., 1969, гл. 2—3.

Ю. А. Гастев.