Матрица

Прямоугольная таблица состоящая из тстрок и n столбцов, элементы к-рой принадлежат нек-рому множеству К. Таблица (1) наз. также -матрицей над К, или мат- рицей размера над K. Пусть — совокупность всех -матриц над К. Если т=п, то (1) наз. квадратной матрицей порядка га. Множество — совокупность всех квадратных М. порядка пнад К. Для М. пользуются также обозначениями В наиболее важных случаях в качестве Квыступают поле действительных чисел, поле комплексных чисел, произвольное поле, кольцо многочленов, кольцо целых чисел, кольцо функций, произвольное ассоциативное кольцо. Операции сложения и умножения, определенные на К., естественным образом переносятся на М. над Ки возникает матричное исчисление — предмет теории М. Понятие М. впервые появилось в середине 19 в. в работах У. Гамильтона (W. Hamilton) и А. Кэли (A. Cayley). Фундаментальные результаты в теории М. принадлежат К. Вейерштрассу (К. Weierstrass), К. Жордану (С. Jordan), Г. Фробениусу (G. Frobenius). И. А. Лаппо-Данилевский развил теорию аналитич. функций многих матричных переменных и применил ее к изучению систем линейных дифференциальных уравнений. Действия над матрицами. Пусть К- ассоциативное кольцо, Тогда сумма М. Аи В, по определению, равна Приятом и сложение М. ассоциативно и коммутативно. Нулевой М. из наз. М. 0, все элементы к-рой равны нулю. Для всякой Пусть Произведение М. А и В определяется но правилу где Произведение двух М. из М n (К)всегда определено и принадлежит . Умножение М. ассоциативно: если то и ABC ОMn,m (K). Верен и дистрибутивный закон: для В частности, (2) верно и для Следовательно, — ассоциативное кольцо. Если К- кольцо с единицей 1, то М. будет единицей кольца : для всех . Умножение М. некоммутативно: при для любого ассоциативного кольца Кс единицей найдутся такие М. Аи Вв М п (К), что Пусть произведение М. A на элемент (число),по определению, равно Тогда Пусть К- кольцо с единицей. М. определяется как М. в единственный ненулевой элемент к-рой равен 1 и расположен на позиции Для любой из Если К- поле, то — векторное пространство над Кразмерности тп, а М.составляют один из базисов этого пространства. Клеточная матрица. Пусть где и — целые положительные числа. Тогда М. можно записать в виде где наз. клеточной. Пусть , и Взаписана в виде Тогда Напр., если можно рассматривать как , где М. Аиз М п (К). вида где — нулевая М. из , обозначается и наз. клеточно-диагональной. Причем если порядки Ai и В i совпадают для i=l, . . ., к. Квадратные матрицы над полем. Пусть К- поле, det А- определитель матрицы А. М. А наз. невырожденной, если . . М. наз. обратной к A, если . Обратимость Ав М п (К)равносильна невырожденности и где А ij- алгебраическое дополнение элемента ai j; det A-1= (det А)-1. Для Аи В из М п (К) Совокупность всех обратимых М. из М п (К)образует группу относительно умножения, к-рая наз. полной линейной группой и обозначается . Степени М. Аопределяются следующим образом: для k>0, а если А обратима, то . Для многочлена определяется матричный многочлен Всякая М. из М п (К)задает нек-рое линейное преобразование n-мерного векторного пространства V над К. Пусть базис в V, а — линейное преобразование пространства V. Тогда однозначно определяется последовательностью векторов При этом где . наз. М. преобразования в базисе . При фиксированном базисе М. А+В будет М. преобразования , а АВ- М. преобразования , где В- М. линейного преобразования . Равенства (4) можно записать в виде Пусть — тоже базис в V. Тогда , , а — М. s в базисе . М. Аи Виз М п (К)наз. подобными, если в найдется такая М. Т, что При этом det и ранги матриц Аи Всовпадают. Линейное преобразование наз. невырожденным, если ; тогда и только тогда невырождено, когда его М. невырождена. Если Vтрактовать как пространство столбцов , то линейное преобразование пространства Vпредставляет собой умножение столбцов на М. Аиз слева: , и М. преобразования в базисе совпадает с А. М. тогда и только тогда вырождена, когда в существует такой столбец , что Транспонирование и матрицы специального вида. Пусть Тогда М. , где , наз. транспонированной к А. А т обозначается также t А и А'. Пусть Тогда М. где — число, комплексно-сопряженное с , наз. комплексно-сопряженной с А. , где , наз. эрмитово-сопряженной с А. Многие М., используемые в приложениях, имеют специальные названия. Полиномиальные матрицы. Пусть К- поле, К[х]- кольцо всех многочленов от хс коэффициентами из К. М. над К[х]наз. полиномиальной. Для М. из кольца М п (К[х]). вводятся элементарные операции: 1) умножение строки или столбца М. на ненулевой элемент поля К,2) прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца) М., умноженной на многочлен из К[х]. М. Аи Виз наз. эквивалентными , если Вможно получить из Ас помощью конечного числа элементарных операций. Пусть где: 1),2) делится на при , 3) коэффициенты старших членов многочленов равны 1. Тогда Nназ. канонической полиномиальной М. В каждом классе эквивалентных М. кольца М п (К[х])содержится единственная ка-нонич. М. Многочленыf1(x),...,fr(x) где- каноническая М., а , наз. инвариантными множителями М. А;число rсовпадает с рангом М. А. Аиз М п (К[х])тогда и только тогда имеет обратную в М п (К[х]), когда . В свою очередь . Матрицы Аи Виз М п( К,[х]). тогда и только тогда эквивалентны, когда где Пусть . наз. характеристической матрицей матрицы А, а — характеристическим многочленом М. А. Для любого многочлена вида в существует М. F, для к-рой Такова, напр., матрица Характеристич. многочлены двух подобных М. совпадают. Однако из совпадения характеристич. многочленов двух М. еще не вытекает подобие этих М. Критерий подобия: Аи В из М п (К). тогда и только тогда подобны, когда полиномиальные М. хЕ п- А и хЕ п -Вэквивалентны. Множество всех М. из М п (К), имеющих заданный характеристич. многочлен f(x), разбивается на конечное число классов подобных М., это множество состоит из одного класса тогда и только тогда, когда f(x)не имеет кратных множителей в К[х]. Пусть где . Тогда vназ. собственным вектором М. А, а — собственным значением. Элемент из Ктогда и только тогда является собственным значением М. А, когда — корень характеристич. многочлена М. А. Совокупность всех столбцов таких, что , где — фиксированное собственное значение М. А, является подпространством пространства . Размерность этого подпространства равна дефекту dM. (). Число dне превышает кратности корня , но не обязательно совпадает с ней. Аиа тогда и только тогда подобна нек-рой диагональной М., когда Аимеет п линейно независимых собственных векторов. Если для и различны, то верно следующее: Атогда и только тогда подобна диагональной М., когда для каждого дефект М. совпадает с В частности, М., имеющая празличных собственных значений, подобна диагональной. Для алгебраически замкнутого поля любая М. из М п (К)подобна нек-рой треугольной М. из М п (К)-Теорема Гамильтона — Кэли: пусть f(x)- характеристич. многочлен М. А, тогда f(A)- нулевая М. Минимальным многочленом М. наз. многочлен такой, что: 1) т(А) = 0,2) коэффициент старшего члена т(х)равен 1, 3) если , а степень меньше степени т(х), то . Всякая М. обладает единственным минимальным многочленом. Если то g(x)делится на минимальный многочлен т(х)М. А. Минимальный многочлен М. Асовпадает с последним инвариантным множителем М.а характеристич. многочлен — с произведением всех инвариантных множителей. Минимальный многочлен М. равен где -наибольший общий делитель миноров порядка n-1 М.. М. Аиз тогда и только тогда подобна диагональной М. над полем К, когда ее минимальный многочлен есть произведение различных линейных множителей из кольца К[х]. М. наз. нильпотентной, если для нек-рого целого k.M. нильпотентна тогда и только тогда, когда Любая нильпотентная М. из подобна нек-рой треугольной М. с нулевой диагональю. Лит.:[1] Воеводин В. В., Линейная алгебра, М., 1974; [2] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967; |3] Кострикин А. И., Введение в алгебру, М., 1977; [4] К урош А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975; [5] Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; [6] Мишина А. П., Проскуряков И. В., Высшая алгебра, 2 изд., М., 1965; [7] Тышкевич Р. И., Феденко А. С., Линейная алгебра и аналитическая геометрия, 2 изд., Минск, 1976; [8] Беллман Р.. Введение в теорию матриц, пер. с англ., 2 изд., М., 1976; [9] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [10] Ланкастер П., Теория матриц, пер. с англ., М., 1978; [11] Маркус М., Минк X., Обзор по теории матриц и матричных неравенств, пер. с англ., М., 1972. Д. А. Супруненко.