Математическая Модель

Приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математич. символики. М. м. — мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления. Анализ М. м. позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений. Процесс математического моделирования, т. е. изучения явления с помощью М. м., можно подразделить на 4 этапа. Первый этап — формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математич. терминах сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели. Второй этап — исследование математич. задач, к к-рым приводят М. м. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, т. е. получение в результате анализа модели выходных данных (теоретич. следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретают математич. аппарат, необходимый для анализа М. м., и вычислительная техника — мощное средство для получения количественной выходной информации как результата решения сложных математич. задач. Часто математич. задачи, возникающие на основе различных М. м. явлений, бывают одинаковыми (напр., основная задача линейного программирования отражает ситуации различной природы). Это дает основание рассматривать такие типичные математич. задачи, как самостоятельный объект, абстрагируясь от изучаемых явлений. Третий этан — выяснение того, удовлетворяет ли принятая (гипотетическая) модель критерию практики, т. е. выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретич. следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена — все параметры ее были заданы, то определение уклонений теоретич. следствий от наблюдений дает решение прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели нек-рые ее характеристики остаются неопределенными. Задачи, в к-рых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, наз. обратными задачами. Если М. м. такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применение критерия практики к оценке М. м. позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели. Этот метод является единственным методом изучения недоступных нам непосредственно явлений макро- и микромира. Четвертый этап — последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники данные об изучаемых явлениях все более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании принятой М. м., не соответствуют нашим знаниям о явлении. Таким образом, возникает необходимость построения новой, более совершенной М. м. Типичным примером, иллюстрирующим характерные этапы в построении М. м., является модель Солнечной системы. Наблюдения звездного неба начались в глубокой древности. Первичный анализ этих наблюдений позволил выделить планеты из всего многообразия небесных светил. Таким образом, первым шагом было выделение объектов изучения. Вторым шагом явилось определение закономерностей их движений. (Вообще, определения объектов и их взаимосвязей являются исходными положениями — "аксиомами" — гипотетич. модели.) Модели Солнечной системы в процессе своего развития прошли через ряд последовательных усовершенствований. Первой была модель Птолемея (2 в. н. э.), исходившая из положения, что планеты и Солнце совершают движения вокруг Земли (геоцентрич. модель), и описывавшая эти движения с помощью правил (формул), многократно усложнявшихся по мере накопления наблюдений. Развитие мореплавания поставило перед астрономией новые требования к точности наблюдений. Н. Коперником (N. Kopernik) в 1543 была предложена принципиально новая основа законов движения планет, полагавшая, что планеты вращаются вокруг Солнца по окружностям (гелиоцентрич. система). Это была качественно новая (но не математически) модель Солнечной системы. Однако не существовало параметров системы (радиусов окружностей и угловых скоростей движения), приводящих количественные выводы теории в должное соответствие с наблюдениями, так что Н. Коперник был вынужден вводить поправки в движения планет по окружностям (эпициклы). Следующим шагом в развитии модели Солнечной системы были исследования И. Кеплера (I. Kepler, нач. 17 в.), к-рый сформулировал законы движения планет. Положения Н. Коперника и И. Кеплера давали кинематич. описание движения каждой планеты обособленно, не затрагивая еще причин, обусловливающих эти движения. Принципиально новым шагом были работы И. Ньютона (I. Newton), предложившего во 2-й пол. 17 в. динамич. модель Солнечной системы, основанную на законе всемирного тяготения. Динамич. модель согласуется с кинематич. моделью, предложенной И. Кеплером, т. к. из динамич. системы двух тел "Солнце — планета" следуют законы Кеплера. К 40-м гг. 19 в. выводы динамич. модели, объектами к-рой были видимые планеты, вошли в противоречие с накопленными к тому времени наблюдениями. Именно, наблюдаемое движение планеты Уран уклонялось от теоретически вычисляемого движения. У. Леверье (U. Le Verrier) в 1846 расширил систему наблюдаемых планет новой гипотетич. планетой, названной им Нептуном, и, пользуясь новой моделью Солнечной системы, определил массу и закон движения новой планеты так, что в новой системе противоречие в движении Урана было снято. Планета Нептун была открыта в месте, указанном У. Леверье. Аналогичным методом, используя расхождения в теоретической и наблюдаемой траектории Нептуна, в 1930 была открыта планета Плутон. Метод математич. моделирования, сводящий исследование явлений внешнего мира к математич. задачам, занимает ведущее место среди других методов исследования, особенно в связи с появлением ЭВМ. Он позволяет проектировать новые технич. средства, работающие в оптимальных режимах, для решения сложных задач науки и техники; проектировать новые явления. М. м. проявили себя как важное средство управления. Они применяются в самых различных областях знания, стали необходимым аппаратом в области экономич. планирования и являются важным элементом автома-.тизированных систем управления. А. Н. Тихонов.