Математическая Физика

Теория математических моделей физических явлений; занимает особое положение и в математике, и в физике, находясь на стыке этих наук. М. ф. тесно связана с физикой в той части, к-рая касается построения математич. модели, и в то же время М. ф.- раздел математики, поскольку методы исследования моделей являются математическими. В понятие методов М. ф. включаются то математич. методы, к-рые применяются для построения и изучения математич. моделей, описывающих большие классы физических явлений. Методы М. ф. как теории математич. моделей физики начали интенсивно разрабатываться в трудах И. Ньютона (I. Newton) по созданию основ классич. механики, всемирного тяготения, теории света. Дальнейшее развитие методов М. ф. и их успешное применение к изучению математич. моделей огромного круга различных физич. явлений связаны с именами Ж. Лагранжа (J. Lagrange), Л. Эйлера (L. Eulor), Ж. Фурье (J. Fourier), К. Гаусса (С. Gauss), Б. Римана (В. Riemann), М. В. Остроградского и многих др. ученых. Большой вклад в развитие методов М. ф. внесли А. М. Ляпунов и В. А. Стеклов. , Начиная со 2-й пол. 19 в. методы М. ф. успешно применялись для изучения математич. моделей физич. явлений, связанных с различными физич. полями и волновыми процессами в электродинамике, акустике, теории упругости, гидро- и аэродинамике и ряде других направлений исследования физич. явлений в сплошных средах. Математич. модели этого класса явлений наиболее часто описываются при помощи дифференциальных уравнений с частными производными, получивших название математической физики уравнений. Помимо дифференциальных уравнений М. ф., при описании математич. моделей физики применение находят интегральные уравнения и интегро-дифференциальные уравнения, вариационные и теоретико-вероятностные методы, теория потенциала, методы теории функций комплексного переменного и ряд других разделов математики. В связи с бурным развитием вычислительной математики особое значение для исследования математич. моделей физики приобретают прямые численные методы, использующие ЭВМ (конечноразностные методы и др. вычислительные алгоритмы краевых задач), что позволило методами М. ф. эффективно решать новые задачи газовой динамики, теории переноса, физики плазмы, в том числе и обратные задачи этих важнейших направлений физич. исследований. Теоретич. исследования в области квантовой физики и теории относительности, широкое использование ЭВМ в различных областях М. ф., включая и обратные (некорректно поставленные) задачи, потребовали значительного расширения используемого М. ф. арсенала математич. методов. Наряду с традиционными разделами математики стали широко применяться теория операторов, теория обобщенных функций, теория функций многих комплексных переменных, тоиологич. и алгебраич. методы. Это интенсивное взаимодействие теоретич. физики, математики и использования ЭВМ в научных исследованиях привело к значительному расширению тематики, созданию новых классов моделей и подняло на новый уровень современную М. ф. Все это внесло большой вклад в развитие научно-технич. прогресса. Постановка задач М. ф. заключается в построении математич. моделей, описывающих основные закономерности изучаемого класса физич. явлений. Такая постановка состоит в выводе уравнений (дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных или алгебраических), к-рым удовлетворяют величины, характеризующие физич. процесс. При этом исходят из основных физич. законов, учитывающих только наиболее существенные черты явления, отвлекаясь от ряда его второстепенных характеристик. Такими законами являются обычно законы сохранения, напр., количества движения, энергии, числа частиц и т. д. Это приводит к тому, что для описания процессов различной физич. природы, но имеющих общие характерные черты, оказываются применимыми одни и те же математич. модели. Напр., математич. задачи для простейшего уравнения гиперболич. типа полученного первоначально Ж. Д'Аламбером (J.D'Alembert, 1747) для описания свободных колебаний однородной струны, оказываются применимыми и для описания широкого круга волновых процессов акустики, гидродинамики, электродинамики и других областей физики. Аналогично, уравнение краевые задачи для к-рого первоначально изучались П. Лапласом (P. Laplace, кон. 18 в.) в связи с построением теории тяготения, в дальнейшем нашло применение при решении многих проблем электростатики, теории упругости, задач установившегося движения идеальной жидкости и т. д. Каждой математич. модели физики соответствует целый класс физич. процессов. Для М. ф. характерно также то, что многие общие методы, используемые для решения задач М. ф., развились из частных способов решения конкретных физич. задач и в своем первоначальном виде не имели строгого математич. обоснования и достаточной завершенности. Это относится к таким известным методам решения задач М. ф., как методы Ритца и Галеркина, к методам: теории возмущений, преобразований Фурье и многим другим, включая метод разделения переменных. Эффективное применение всех этих методов для решения конкретных задач является одной из причин для их строгого математич. обоснования и обобщения, приводящего в ряде случаев к возникновению новых математич. направлений. Воздействие М. ф. на различные разделы математики проявляется в том, что развитие М. ф., отражающее требования естественных наук и запросы практики, влечет за собой переориентацию направленности исследований в нек-рых уже сложившихся разделах математики. Постановка задач М. ф., связанная с разработкой математич. моделей реальных физич. явлений, привела к изменению основной проблематики теории дифференциальных уравнений с частными производными. Возникла теория краевых задач, позволившая впоследствии связать дифференциальные уравнения с частными производными с интегральными уравнениями и вариационными методами. Изучение математич. моделей физики математич. методами не только позволяет получить количественные характеристики физич. явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реальных процессов, но и дает возможность глубокого проникновения в самую суть физич. явлений, выявления скрытых закономерностей, предсказания новых эффектов. Стремление к более детальному изучению физич. явлений приводит к все большему усложнению описывающих эти явления математич. моделей, что в свою очередь делает невозможным применение аналитич. методов исследования этих моделей. Это объясняется, в частности, тем, что математич. модели реальных физич. процессов являются, как правило, нелинейными, т. е. описываются нелинейными уравнениями М. ф. Для детального исследования таких моделей успешно применяются прямые численные методы с использованием ЭВМ. Для типичных задач М. ф. применение численных методов сводится к замене уравнений М. ф. для функций непрерывного аргумента алгебраич. уравнениями для сеточных функций, заданных на дискретном множестве точек (на сетке). Иными словами, вместо непрерывной модели среды вводится ее дискретный аналог. Применение численных методов в ряде случаев позволяет заменить сложный, трудоемкий и дорогостоящий физич. эксперимент значительно более экономичным математическим (численным) экспериментом. Достаточно полно проведенный математич. эксперимент является основой для выбора оптимальных условий реального физич. эксперимента, выбора параметров сложных физич. установок, определения условий проявления новых физич. эффектов и т. д. Таким образом, численные методы необычайно расширяют область эффективного использования математич. моделей физич. явлений. Математич. модель физич. явления, как всякая модель, не может передать всех черт явления. Установить адекватность принятой модели исследуемому явлению можно только при помощи критерия практики, сопоставляя результаты теоретич. исследований принятой модели с данными экспериментов. Во многих случаях об адекватности принятой модели можно судить на основании решения обратных задач М. ф., когда о свойствах изучаемых явлений природы, недоступных для непосредственного наблюдения, делаются заключения по результатам их косвенных физич. проявлении. Для М. ф. характерно стремление строить такие математич. модели, к-рые не только дают описание и объяснение уже установленных физич. закономерностей изучаемого круга явлений, но и позволяют предсказать еще не открытые закономерности. Классич. примером такой модели является теория всемирного тяготения Ньютона, позволившая не только объяснить движение известных к моменту ее создания тел Солнечной системы, но и предсказать существование новых планет. С другой стороны, появляющиеся новые экспериментальные данные не всегда могут быть объяснены в рамках принятой модели. Для их объяснения требуется усложнение модели. Лит.:[1] Т и х о н о в А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972; [2] В л а д и м и р о в В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [3] Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; [4] К у р а н т Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [5] М о р с Ф. М., Ф е ш б а х Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1, М., 1958. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, А. Г. Свешников.