Мартингал

Стохастическая последовательность заданная на вероятностном пространстве с выделенным на нем неубывающим семейством s-алгебр такая, что Xt являются Ft -измеримыми и (с вероятностью 1, или почти наверное). В случае дискретного времени , в случае непрерывного времени Родственными понятиями являются стохастич. последовательности, образующие субмартингал, для к-рых и супермартингал, для к-рых Пример 1. Если — последовательность независимых случайных величин с то X = ( Х n, Fn).с является М., Пример 2. Пусть Y=(Yn, Fn) — М. (субмартингал), V=(Vn, Fn) — нек-рая предсказуемая последовательность (т. е. Vn являются не только Fn -измеримыми, но и Fn-1 -измеримыми, и Тогда если величины (VY)Fn интегрируемы, то стоха-стич. последовательность ((VY)n-1, Fn )образует М. (субмартингал). В частности, если — последовательность независимых случайных величин, соответствующих схеме Бернулли и то((VY)n, Fn).образует М. Эта стохастич. последовательность служит математич. моделью игры, в к-рой игрок выигрывает единицу капитала, если xk=+1, и проигрывает единицу, если xk=-1, a Vk — величина его ставки в k-й партии. Игровой смысл функции Vk, определяемой равенством (2), состоит в том, что игрок увеличивает ставку вдвое при проигрыше п прекращает игру при первом выигрыше. Такая система игры в игровой практике носит название М., что н послужило причиной возникновения математич. термина "мартингал". Один из основных фактов теории М. состоит в том, что структура М. (субмартингалов) Х=(Xt, Ft).сохраняется при случайной замене времени. Точная формулировка этого факта (называемого теоремой о преобразовании свободного выбора) состоит в следующем: если t1 и t2 — два конечных марковских момента, и то (с вероятностью 1, или почти наверное), где В качестве частного случая отсюда следует Вальда тождество: К числу основных результатов теории М. относятся неравенства Дуба: если Х=( Х n, Fn) — неотрицательный субмартингал, то Если Х=Х=( Х n, Fn) — М., то для случая p>1 справедливы неравенства Буркхольдера (обобщающие неравенства Хинчина и Марцинкевича — Зигмунда для сумм независимых случайных величин): где А р и В р — нек-рые универсальные константы (не зависящие от Xи от п). в качестве к-рых можно взять и С учетом (5) из (7) следует, что (р>1) где На случай р=1 обобщаются неравенства (8). Именно, имеют место неравенства Дэвиса: существуют такие универсальные постоянные Аи В, что Для доказательства разного рода теорем о сходимости субмартпнгалов с вероятностью единица ключевую роль играет неравенство Дуба для математического ожидания числа пересечений bn(a, b).субмартингалов Х=( Х п, Fn).интервала [ а, b]снизу вверх за пшагов Основной результат о сходимости субмартингалов содержится в теореме Дуба: если Х=( Х п, Fn) — субмартингал и sup то с вероятностью единица существует Если субмартингал Xравномерно интегрируемый, то помимо сходимости с вероятностью единица имеет место и сходимость в смысле L1 т. е. Следствием этого результата является теорема Леви о непрерывности условных математических ожиданий: если то где Естественным обобщением М. является понятие локального мартингала, т. е. такой стохастич. последовательности Х=( Х t, Ft), для к-рой найдется последовательность конечных марковских моментов, (с вероятностью 1 или почти наверное), таких, что для каждого "остановленные" последовательности являются М. В случае дискретного времени каждый локальный М. Х=( Х п, Fn )есть мартингал ь-ное преобразование, т. е. представим в виде Х п=(VY) п, где V — нек-рая предсказуемая последовательность, а Y — нек-рый М. Каждый субмартингал Х=( Х t, Ft )допускает и притом единственное разложение Дуба — Мейера Х t=Mt+At, где M=(Mt,Ft) — M., a А=(At, Ft).-предсказуемый процесс. В частности, если m=(mt, Ft) — квадратично-интегрируемый М., то его квадрат является субмартингалом, для к-рого в его разложении Дуба — Мейера процесс <m>=(<m>t, Ft).наз. квадратической характеристикой мартингала т. Для каждого квадратично-интегрируемого М. ти предска- зуемого процесса V=(Vt, Ft).таких, что (с вероятностью 1, или почти наверное), t> 0, можно определить стохастич. интеграл к-рый является локальным М. В случае винеровского процесса W=(Wt, Ft), являющегося квадратично-интегрируемым М., <m>t=t и стохастич. интеграл (VW)t есть не что иное, как стохастич. интеграл Ито по винеровскому процессу, В случае непрерывного времени неравенства Дуба, Буркхольдера и Дэвиса также остаются в силе (для процессов непрерывных справа и имеющих пределы слева). Лит.:[1] Д у б Д ж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [2] Ги х м а н И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1, М., 1971. А. Н. Ширяев.